Exercice 7

Exercice

Comment estimer approximativement la hauteur d’un lampadaire un jour ensoleillé en disposant d’un bâton de longueur connue ?

Réponse

Pour estimer la hauteur du lampadaire, on place un bâton vertical de longueur connue et on mesure ses ombres ainsi que celles du lampadaire. En utilisant la proportion \(H_l = \frac{L_b \times l_l}{l_b}\), on calcule la hauteur du lampadaire. Par exemple, avec un bâton de 1 m, une ombre de 1,5 m et une ombre du lampadaire de 4,5 m, la hauteur du lampadaire est de 3 mètres.

Corrigé détaillé

Correction Détaillée

Pour estimer la hauteur d’un lampadaire un jour ensoleillé en utilisant un bâton de longueur connue, nous allons utiliser les principes de la similarité des triangles. Voici les étapes à suivre :

1. Matériel Nécessaire
2. Observation des Ombres

En plein soleil, les objets verticaux projettent des ombres que nous pouvons mesurer. Supposons que nous placions le bâton verticalement sur le sol et que nous mesurions sa ombre.

3. Mesure de l’Ombre du Bâton
4. Mesure de l’Ombre du Lampadaire
5. Application des Triangles Similaires

Les triangles formés par le bâton et sa ombre, ainsi que le lampadaire et son ombre, sont semblables. Cela signifie que les proportions entre les hauteurs et les longueurs des ombres sont constantes.

Mathématiquement, cela s’écrit : \[ \frac{L_b}{l_b} = \frac{H_l}{l_l} \] où : - \(L_b\) est la hauteur du bâton - \(l_b\) est la longueur de l’ombre du bâton - \(H_l\) est la hauteur du lampadaire (ce que nous cherchons) - \(l_l\) est la longueur de l’ombre du lampadaire

6. Calcul de la Hauteur du Lampadaire

Nous pouvons réarranger l’équation pour trouver \(H_l\) : \[ H_l = \frac{L_b \times l_l}{l_b} \]

Exemple de Calcul : Supposons que : - La hauteur du bâton (\(L_b\)) est de 1 mètre. - La longueur de son ombre (\(l_b\)) est de 1,5 mètre. - La longueur de l’ombre du lampadaire (\(l_l\)) est de 4,5 mètres.

En appliquant la formule : \[ H_l = \frac{1 \times 4,5}{1,5} = \frac{4,5}{1,5} = 3 \text{ mètres} \] Ainsi, la hauteur du lampadaire est estimée à 3 mètres.

7. Conclusion

En utilisant un bâton de longueur connue et en mesurant les ombres projetées, il est possible d’estimer la hauteur d’un lampadaire grâce à la proportionnalité entre les triangles similaires formés par les objets et leurs ombres.

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