Question :
| Rectangle 1 | Rectangle 2 | Rectangle 3 | |
|---|---|---|---|
| Largeur (cm) | 5 | 7,5 | |
| Longueur (cm) | 8 | 40 | |
| Périmètre (cm) | |||
| Aire \((\mathrm{cm}^{2})\) |
Le périmètre est-il proportionnel à la longueur ?
L’aire est-elle proportionnelle à la longueur ?
Réponse succincte :
| Rectangle 1 | Rectangle 2 | Rectangle 3 | |
|---|---|---|---|
| Largeur (cm) | 5 | 7,5 | 25 |
| Longueur (cm) | 8 | 12 | 40 |
| Périmètre (cm) | 26 | 39 | 130 |
| Aire (cm²) | 40 | 90 | 1000 |
Le périmètre est proportionnel à la longueur.
L’aire n’est pas proportionnelle à la longueur.
Question a) Compléter le tableau des dimensions des rectangles semblables.
Pour résoudre cette partie, nous allons utiliser les propriétés des rectangles semblables. Lorsque des figures sont semblables, leurs longueurs correspondantes sont proportionnelles. Cela signifie que le rapport entre les largeurs, les longueurs, les périmètres et les aires des rectangles semblables est constant.
Étape 1 : Identifier les rapports de proportionnalité
Nous avons deux rectangles avec certaines dimensions connues :
Commençons par trouver le rapport de proportionnalité entre les Largeurs des Rectangle 1 et 2.
\[ \text{Rapport (Rectangle 2 / Rectangle 1)} = \frac{7,5}{5} = 1,5 \]
Étape 2 : Calculer les longueurs manquantes
Puisque les rectangles sont semblables, le rapport de proportionnalité est le même pour toutes les dimensions.
\[ \text{Longueur du Rectangle 2} = \text{Longueur du Rectangle 1} \times \text{Rapport} = 8 \times 1,5 = 12 \text{ cm} \]
Nous savons que le Rectangle 3 a une Longueur de 40 cm. Pour trouver le rapport de proportionnalité entre le Rectangle 3 et le Rectangle 1 :
\[ \text{Rapport (Rectangle 3 / Rectangle 1)} = \frac{40}{8} = 5 \]
Donc, la Largeur du Rectangle 3 est :
\[ \text{Largeur du Rectangle 3} = \text{Largeur du Rectangle 1} \times 5 = 5 \times 5 = 25 \text{ cm} \]
Étape 3 : Calculer les périmètres
Le périmètre d’un rectangle se calcule avec la formule :
\[ P = 2 \times (\text{Largeur} + \text{Longueur}) \]
\[ P_1 = 2 \times (5 + 8) = 2 \times 13 = 26 \text{ cm} \]
\[ P_2 = 2 \times (7,5 + 12) = 2 \times 19,5 = 39 \text{ cm} \]
\[ P_3 = 2 \times (25 + 40) = 2 \times 65 = 130 \text{ cm} \]
Étape 4 : Calculer les aires
L’aire d’un rectangle se calcule avec la formule :
\[ A = \text{Largeur} \times \text{Longueur} \]
\[ A_1 = 5 \times 8 = 40 \, \mathrm{cm}^2 \]
\[ A_2 = 7,5 \times 12 = 90 \, \mathrm{cm}^2 \]
\[ A_3 = 25 \times 40 = 1000 \, \mathrm{cm}^2 \]
Tableau complété :
| Rectangle 1 | Rectangle 2 | Rectangle 3 | |
|---|---|---|---|
| Largeur (cm) | 5 | 7,5 | 25 |
| Longueur (cm) | 8 | 12 | 40 |
| Périmètre (cm) | 26 | 39 | 130 |
| Aire \((\mathrm{cm}^{2})\) | 40 | 90 | 1000 |
Question b) Le périmètre est-il proportionnel à la longueur ?
Pour déterminer si le périmètre est proportionnel à la longueur, nous examinons le rapport entre le périmètre et la longueur pour chaque rectangle. Si ce rapport est constant, ils sont proportionnels.
Calculons le rapport \(\frac{P}{L}\) pour chaque rectangle :
\[ \frac{P_1}{L_1} = \frac{26}{8} = 3,25 \]
\[ \frac{P_2}{L_2} = \frac{39}{12} = 3,25 \]
\[ \frac{P_3}{L_3} = \frac{130}{40} = 3,25 \]
Comme le rapport \(\frac{P}{L}\) est constant et égal à 3,25 pour tous les rectangles, le périmètre est proportionnel à la longueur.
Question c) L’aire est-elle proportionnelle à la longueur ?
Pour vérifier si l’aire est proportionnelle à la longueur, examinons le rapport entre l’aire et la longueur pour chaque rectangle. Si ce rapport est constant, ils sont proportionnels.
Calculons le rapport \(\frac{A}{L}\) pour chaque rectangle :
\[ \frac{A_1}{L_1} = \frac{40}{8} = 5 \]
\[ \frac{A_2}{L_2} = \frac{90}{12} = 7,5 \]
\[ \frac{A_3}{L_3} = \frac{1000}{40} = 25 \]
Les rapports \(\frac{A}{L}\) ne sont pas constants (5, 7,5, 25), donc l’aire n’est pas proportionnelle à la longueur.