Dans une urne, on place sept boules vertes et trois boules bleues.
Est-ce que, en tirant une boule, en observant sa couleur et en la remettant dans l’urne, il est possible de tirer une boule bleue cinq fois de suite ?
Est-ce que, si on tire deux boules en même temps, on peut obtenir deux boules bleues ?
Est-ce que, si on tire trois boules en même temps, on obtient forcément au moins une boule verte ?
On place cinq boules oranges et deux boules grises dans une urne.
Est-ce que, en tirant une boule, on a plus de probabilités d’obtenir une boule orange qu’une boule grise ?
Est-ce que, après avoir obtenu une boule grise qu’on remet dans l’urne, au tirage suivant, on a plus de probabilités de tirer une boule orange qu’une boule grise puisqu’on vient de tirer une boule grise ?
Résumé des corrections :
Énoncé :
On tire une boule, on observe sa couleur et on la remet dans l’urne. Il
est possible de tirer une boule bleue cinq fois de suite.
Réponse : Vrai
Justification :
L’urne contient 7 boules vertes et 3 boules bleues, soit un total de 10
boules.
À chaque tirage, la probabilité de tirer une boule bleue est : \[ P(\text{bleu}) = \frac{3}{10} \]
Étant donné que la boule est remise dans l’urne après chaque tirage, les événements sont indépendants. La probabilité de tirer cinq boules bleues consécutivement est donc : \[ P(\text{5 bleues}) = \left(\frac{3}{10}\right)^5 \approx 0,00243 \]
Bien que cette probabilité soit très faible, il est possible de tirer une boule bleue cinq fois de suite.
Énoncé :
Si on tire deux boules en même temps, on peut obtenir deux boules
bleues.
Réponse : Vrai
Justification :
L’urne contient 3 boules bleues sur un total de 10 boules. Pour tirer
deux boules bleues simultanément, on calcule le nombre de façons
possibles de tirer 2 boules bleues parmi 3 : \[ \binom{3}{2} = 3 \]
Le nombre total de façons de tirer 2 boules parmi 10 est : \[ \binom{10}{2} = 45 \]
La probabilité d’obtenir deux boules bleues est donc : \[ P(\text{2 bleues}) = \frac{3}{45} = \frac{1}{15} \approx 0,0667 \]
Ainsi, il est possible d’obtenir deux boules bleues lors d’un tirage de deux boules simultanément.
Énoncé :
Si on tire trois boules en même temps, on obtient forcément au moins une
boule verte.
Réponse : Faux
Justification :
L’urne contient 7 boules vertes et 3 boules bleues, soit un total de 10
boules. Pour qu’on obtienne au moins une boule verte en
tirant trois boules, il faut qu’il ne soit pas possible d’obtenir
uniquement des boules bleues.
Cependant, il y a une possibilité de tirer les trois boules bleues
seulement. Calculons cette probabilité : \[
\binom{3}{3} = 1 \]
\[ \binom{10}{3} = 120 \]
\[ P(\text{3 bleues}) = \frac{1}{120} \approx
0,0083 \]
Bien que cette probabilité soit très faible, il reste possible de tirer trois boules bleues sans aucune verte. Ainsi, l’affirmation est Fausse.
Énoncé :
On place cinq boules oranges et deux boules grises dans une urne. On
tire une boule. On a plus de probabilités d’obtenir une boule orange
qu’une boule grise.
Réponse : Vrai
Justification :
L’urne contient 5 boules oranges et 2 boules grises, soit un total de 7
boules.
La probabilité de tirer une boule orange est : \[ P(\text{orange}) = \frac{5}{7} \]
La probabilité de tirer une boule grise est : \[ P(\text{grise}) = \frac{2}{7} \]
Comparons les deux probabilités : \[ \frac{5}{7} > \frac{2}{7} \]
Ainsi, il y a en effet plus de probabilités d’obtenir une boule orange qu’une boule grise lors d’un tirage unique.
Énoncé :
On obtient d’abord une boule grise qu’on remet dans l’urne. Au tirage
suivant, on a plus de probabilités de tirer une boule orange qu’une
boule grise puisqu’on vient de tirer une boule grise.
Réponse : Vrai
Justification :
Après avoir tiré une boule grise et l’avoir remise dans l’urne, la
composition de l’urne reste la même : 5 boules oranges et 2 boules
grises, soit un total de 7 boules.
La probabilité de tirer une boule orange au deuxième tirage est donc : \[ P(\text{orange}) = \frac{5}{7} \]
Et la probabilité de tirer une boule grise est : \[ P(\text{grise}) = \frac{2}{7} \]
Comme précédemment : \[ \frac{5}{7} > \frac{2}{7} \]
Ainsi, après avoir remis une boule grise dans l’urne, il y a toujours plus de probabilités de tirer une boule orange qu’une boule grise au tirage suivant.