Question : Pierre place trente billes, bleues et vertes, dans un sac, sans révéler la répartition des couleurs. Propose une méthode pour déterminer s’il y a une probabilité plus élevée de tirer une bille bleue que verte en respectant les règles suivantes :
Pour vérifier si la probabilité de tirer une bille bleue est supérieure à celle de tirer une bille verte, réalisez 100 tirages avec remise, comptez le nombre de billes bleues et vertes obtenues, puis comparez les fréquences. Si les billes bleues sont plus nombreuses, alors \(P(B) > P(V)\).
Correction détaillée
Pour déterminer si la probabilité de tirer une bille bleue est plus élevée que celle de tirer une bille verte, nous allons suivre une méthode rigoureuse basée sur des expériences répétées. Voici les étapes à suivre :
Soit \(B\) le nombre de billes bleues et \(V\) le nombre de billes vertes. On sait que : \[ B + V = 30 \]
La probabilité de tirer une bille bleue lors d’un tirage simple est : \[ P(B) = \frac{B}{30} \]
De même, la probabilité de tirer une bille verte est : \[ P(V) = \frac{V}{30} \]
Notre objectif est de vérifier si : \[ P(B) > P(V) \] C’est-à-dire : \[ \frac{B}{30} > \frac{V}{30} \implies B > V \]
Puisque la répartition exacte des couleurs n’est pas connue, nous allons estimer les probabilités par l’expérience.
Choisissons un nombre de tirages suffisamment grand pour obtenir une estimation fiable. Par exemple, 100 tirages.
À chaque tirage :
À la fin des 100 tirages, nous aurons deux compteurs :
Calculons les fréquences observées pour chaque couleur :
\[ f(B) = \frac{N_B}{100} \] \[ f(V) = \frac{N_V}{100} \]
Comparons \(f(B)\) et \(f(V)\) :
En effectuant cette méthode, nous pouvons estimer les probabilités de tirer une bille bleue ou verte sans connaître la répartition initiale des couleurs. Si, après de nombreux tirages, les billes bleues sont tirées plus fréquemment que les vertes, cela indique que \(P(B) > P(V)\), c’est-à-dire qu’il y a une probabilité plus élevée de tirer une bille bleue que verte.
En suivant cette méthode, vous pouvez déterminer de manière empirique si la probabilité de tirer une bille bleue est supérieure à celle de tirer une bille verte.