Exercice 27

Question :
Élise doit répondre à cinq questions de géographie par « vrai » ou par « faux ». N’ayant pas appris les réponses, elle choisit systématiquement la même option (« vrai » ou « faux ») pour toutes les questions, pensant ainsi qu’elle a une probabilité de \(\frac{2}{5}\) de commettre au plus deux erreurs.

A-t-elle raison ?

Réponse

Élise a tort. La probabilité de faire au plus deux erreurs est de ½, et non de 2⁄5.

Corrigé détaillé

Correction détaillée :

Élise doit répondre à cinq questions de géographie par « vrai » ou par « faux ». Elle choisit systématiquement la même option pour toutes les questions, pensant qu’elle a une probabilité de \(\frac{2}{5}\) de commettre au plus deux erreurs. Examinons si sa démarche est correcte.

1. Comprendre la situation :

• Nombre de questions : 5
• Options par question : « Vrai » ou « Faux »
• Stratégie d’Élise : Choisir la même réponse pour toutes les questions (soit tout « Vrai », soit tout « Faux »)
• Pensée d’Élise : La probabilité de faire au plus deux erreurs est \(\frac{2}{5}\)

2. Analyser la stratégie d’Élise :

Lorsque Élise choisit la même réponse pour toutes les questions, elle dépend de la chance pour que cette réponse soit correcte. Supposons que les réponses correctes soient réparties aléatoirement entre « Vrai » et « Faux ».

3. Calculer la probabilité de faire au plus deux erreurs :

Pour déterminer si la probabilité est effectivement \(\frac{2}{5}\), calculons la probabilité qu’Élise fasse au plus deux erreurs en choisissant la même réponse pour toutes les questions.

• Nombre total de questions : 5
• Nombre d’erreurs acceptées : 0, 1 ou 2

Supposons qu’Élise choisisse toujours « Vrai ». La même démarche s’applique si elle choisit toujours « Faux ».

La probabilité de chaque scénario de réponse correcte est égale à \(\frac{1}{2}\) (puisqu’il y a deux options possibles).

4. Utiliser la distribution binomiale :

La situation peut être modélisée par une distribution binomiale où :

• Nombre d’essais (n) : 5
• Probabilité de succès (p) : \(\frac{1}{2}\) (puisqu’une réponse est correcte ou incorrecte avec une probabilité égale)
• Nombre de succès souhaités (k) : Nombre de questions correctes

Nous voulons la probabilité d’avoir au moins 3 réponses correctes (ce qui correspond à au plus 2 erreurs).

La formule de la probabilité binomiale est : \[ P(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

Calculons donc : \[ P(k \geq 3) = P(3) + P(4) + P(5) \]

Calculons chaque terme :

• Pour k = 3 : \[ P(3) = \binom{5}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^3 \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 10 \times \frac{1}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{10}{32} \]

• Pour k = 4 : \[ P(4) = \binom{5}{4} \left( \frac{1}{2} \right)^4 \left( \frac{1}{2} \right)^1 = 5 \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{32} \]

• Pour k = 5 : \[ P(5) = \binom{5}{5} \left( \frac{1}{2} \right)^5 \left( \frac{1}{2} \right)^0 = 1 \times \frac{1}{32} \times 1 = \frac{1}{32} \]

Additionnons ces probabilités : \[ P(k \geq 3) = \frac{10}{32} + \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2} \]

5. Conclusion :

Élise pensait avoir une probabilité de \(\frac{2}{5}\) de commettre au plus deux erreurs. Cependant, notre calcul montre que la probabilité réelle est de \(\frac{1}{2}\).

Donc, Élise n’a pas raison. Sa probabilité de faire au plus deux erreurs en choisissant la même réponse pour toutes les questions est de \(\frac{1}{2}\), soit 50 %, et non \(\frac{2}{5}\).