Exercice 25

Sophie te propose de lancer une fois un dé à six faces. Si le résultat \(X = 4\), elle te donne 18 francs ; sinon, tu lui donnes 5 francs. Acceptes-tu sa proposition ?

Réponse

L’espérance mathématique est de -1,17 franc. Il est donc défavorable d’accepter la proposition de Sophie, car tu perdras en moyenne de l’argent à chaque partie.

Corrigé détaillé

Correction détaillée :

Pour décider d’accepter la proposition de Sophie, il est essentiel de calculer l’espérance mathématique de ce jeu. L’espérance nous indique, en moyenne, combien d’argent tu gagneras ou perdras par partie.

1. Définir les événements et leurs probabilités :

   • Événement favorable : Le dé montre \(X = 4\).
     • Probabilité : Comme le dé est équilibré avec 6 faces, la probabilité d’obtenir un 4 est : \[ P(X = 4) = \frac{1}{6} \]
   • Événement défavorable : Le dé ne montre pas \(X = 4\).
     • Probabilité : \[ P(X \neq 4) = 1 - P(X = 4) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \]

2. Identifier les gains et les pertes associés :

   • Si \(X = 4\) : Sophie te donne 18 francs.
   • Sinon : Tu donnes 5 francs à Sophie, ce qui représente une perte de 5 francs.

3. Calcul de l’espérance mathématique (\(E\)) :

   L’espérance se calcule en multipliant chaque résultat possible par sa probabilité, puis en faisant la somme de ces produits.

   \[ E = (P(X = 4) \times \text{Gain}) + (P(X \neq 4) \times \text{Perte}) \]

   Substituons les valeurs connues :

   \[ E = \left( \frac{1}{6} \times 18 \right) + \left( \frac{5}{6} \times (-5) \right) \]

4. Effectuer les calculs :

   Calculons chaque terme séparément :

   \[ \frac{1}{6} \times 18 = 3 \]

   \[ \frac{5}{6} \times (-5) = -\frac{25}{6} \approx -4,1667 \]

   Maintenant, additionnons ces résultats :

   \[ E = 3 + (-4,1667) = -1,1667 \]

5. Interprétation du résultat :

   L’espérance \(E = -1,1667\) francs signifie que, en moyenne, tu perdras environ 1,17 franc à chaque fois que tu accepteras la proposition de Sophie.

6. Conclusion :

   Puisque l’espérance est négative, il est défavorable d’accepter la proposition. À long terme, cela te conduira à perdre de l’argent.