Question : Un sac contient des jetons portant les lettres \(A\), \(B\) et \(C\). La probabilité de tirer un \(B\) est de \(\frac{2}{7}\) et celle de tirer un \(C\) est de \(\frac{1}{3}\).
Calcule la probabilité de ne pas tirer la lettre \(B\).
Calcule la probabilité de tirer un \(A\).
Réponses :
La probabilité de ne pas tirer la lettre \(B\) est \(\frac{5}{7}\).
La probabilité de tirer un \(A\) est \(\frac{8}{21}\).
Correction :
Nous allons résoudre les deux parties de la question étape par étape.
Étape 1 : Comprendre les probabilités données
Étape 2 : Rappeler que la somme des probabilités de tous les événements possibles est égale à 1
Dans ce cas, les événements possibles sont de tirer un \(A\), un \(B\) ou un \(C\). Donc :
\[ P(A) + P(B) + P(C) = 1 \]
Étape 3 : Exprimer la probabilité de ne pas tirer un \(B\)
Ne pas tirer un \(B\) signifie tirer soit un \(A\), soit un \(C\). Donc :
\[ P(\text{non } B) = P(A) + P(C) \]
Étape 4 : Calculer \(P(A)\) en utilisant la relation précédente
Nous savons que :
\[ P(A) = 1 - P(B) - P(C) \]
Remplaçons les valeurs connues :
\[ P(A) = 1 - \frac{2}{7} - \frac{1}{3} \]
Étape 5 : Calculer les fractions
Pour soustraire les fractions, trouvons un dénominateur commun. Le dénominateur commun entre 7 et 3 est 21.
\[ P(A) = 1 - \frac{6}{21} - \frac{7}{21} = 1 - \frac{13}{21} = \frac{21}{21} - \frac{13}{21} = \frac{8}{21} \]
Étape 6 : Déterminer \(P(\text{non } B)\)
Puisque :
\[ P(\text{non } B) = P(A) + P(C) = \frac{8}{21} + \frac{7}{21} = \frac{15}{21} = \frac{5}{7} \]
Réponse : La probabilité de ne pas tirer la lettre \(B\) est \(\frac{5}{7}\).
Étape 1 : Utiliser la relation trouvée précédemment
Nous avons déjà calculé \(P(A)\) dans la partie a) :
\[ P(A) = \frac{8}{21} \]
Étape 2 : Simplifier la fraction si possible
La fraction \(\frac{8}{21}\) est irréductible car 8 et 21 n’ont pas de diviseur commun autre que 1.
Réponse : La probabilité de tirer un \(A\) est \(\frac{8}{21}\).