Deux pièces de monnaie de couleurs différentes sont lancées. Les pièces sont équilibrées et leurs faces sont numérotées de 1 à 6. On s’intéresse à la somme des valeurs obtenues.
Les pièces sont lancées 14 fois et les résultats sont enregistrés dans un tableau.
La colonne A indique le numéro de l’expérience, les colonnes B et C les valeurs des pièces, et la colonne D la somme des deux pièces.
| A | B | C | D |
|---|---|---|---|
| N° | Pièce 1 | Pièce 2 | Somme |
| 1 | 2 | 3 | 5 |
| 2 | 4 | 1 | 5 |
| 3 | 6 | 2 | 8 |
| 4 | 3 | 5 | 8 |
| 5 | 1 | 4 | 5 |
| 6 | 5 | 6 | 11 |
| 7 | 2 | 4 | 6 |
| 8 | 3 | 3 | 6 |
| 9 | 4 | 2 | 6 |
| 10 | 6 | 1 | 7 |
| 11 | 5 | 2 | 7 |
| 12 | 1 | 5 | 6 |
| 13 | 2 | 3 | 5 |
| 14 | 4 | 4 | 8 |
| Somme des 2 pièces | Valeur de la 2ᵉ pièce | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
| 1 | 1 | ||||||
| 2 | 2 | ||||||
| 3 | 3 | ||||||
| 4 | 4 | ||||||
| 5 | 5 | ||||||
| 6 | 6 | ||||||
| 7 | 7 | ||||||
| 8 | 8 | ||||||
| 9 | 9 | ||||||
| 10 | 10 | ||||||
| 11 | 11 | ||||||
| 12 | 12 |
Voici une proposition de correction détaillée en plusieurs parties afin de bien comprendre le raisonnement :
────────────────────────────── Partie 1 – Analyse des résultats enregistrés
Question a. La somme peut-elle être égale à 0 ? Justification
Conclusion : La somme ne peut pas être égale à 0.
────────────────────────────── Question b. La somme 13 apparaît-elle dans le tableau et peut-on l’obtenir ?
Conclusion : Même si elle n’apparaît pas dans le tableau, la somme 13 ne peut pas être obtenue avec ces pièces.
────────────────────────────── Question c. Dans cette expérience, combien de fois obtient-on la somme 5 et quelle est sa fréquence en pourcentage ?
En lisant le tableau, on repère les lignes où la colonne D (la somme) vaut 5.
Le nombre d’expériences donnant la somme 5 est donc 4.
Pour calculer la fréquence en pourcentage, on utilise la formule
:
Fréquence (%) = (Nombre d’expériences favorables / Nombre total
d’expériences) × 100
Ici : Fréquence = (4 / 14) × 100
On effectue le calcul : 4 ÷ 14 ≈ 0,2857 et 0,2857 × 100 ≈ 28,57
%
Conclusion : La somme 5 est obtenue 4 fois, ce qui correspond à environ 28,6 %.
────────────────────────────── Partie 3 – Compléter le tableau et déterminer la probabilité d’obtenir 7
Avant de répondre aux questions e et f, établissons une méthode générale pour connaître les sommes obtenues avec deux pièces (dite parfois « dés » lorsque leurs faces sont numérotées de 1 à 6).
Méthode de travail : • Chaque pièce peut prendre une valeur de 1 à 6.
• On représente souvent ces possibilités dans un tableau à 6 lignes et 6
colonnes.
• La ligne correspond à la valeur obtenue sur la première pièce et la
colonne correspond à la valeur de la deuxième pièce. • Dans chaque case,
on écrit la somme de la valeur de la première pièce et de celle de la
deuxième.
Voici le tableau complet avec les sommes :
Valeur de la 2ᵉ pièce
1 2 3 4 5 6 ————————————— 1 |
1+1=2 3 4 5 6 7
2 | 2+1=3 4 5 6 7 8
3 | 3+1=4 5 6 7 8 9
4 | 4+1=5 6 7 8 9 10
5 | 5+1=6 7 8 9 10 11
6 | 6+1=7 8 9 10 11 12
Remarque : Dans la première ligne, « 1+1=2 » est écrit pour illustrer que si la première pièce montre 1 et la deuxième 1, alors la somme vaut 2. De même, par exemple, en quatrième ligne et troisième colonne, 4 + 3 = 7.
────────────────────────────── Question e. Complétez le tableau et entourez les possibilités d’obtenir une somme égale à 7
En se référant au tableau ci-dessus, les cases pour lesquelles la somme vaut 7 sont :
• Première ligne, sixième colonne : 1 + 6 = 7
• Deuxième ligne, cinquième colonne : 2 + 5 = 7
• Troisième ligne, quatrième colonne : 3 + 4 = 7
• Quatrième ligne, troisième colonne : 4 + 3 = 7
• Cinquième ligne, deuxième colonne : 5 + 2 = 7
• Sixième ligne, première colonne : 6 + 1 = 7
Ainsi, si on entoure ces six cases, on met en évidence toutes les combinaisons donnant 7.
────────────────────────────── Question f. Calcul de la probabilité d’obtenir une somme égale à 7
Le nombre total de résultats possibles lorsqu’on lance les deux
pièces est :
Nombre total = 6 (pour la première pièce) × 6 (pour la deuxième pièce) =
36.
On a repéré 6 combinaisons (dans la question e) qui donnent une somme de 7.
La probabilité d’obtenir une somme de 7 est donc :
P(7) = Nombre de cas favorables / Nombre total de cas = 6 / 36 = 1 /
6.
On peut aussi exprimer cette probabilité en pourcentage :
(1/6) × 100 ≈ 16,67 %.
────────────────────────────── Question g. Comparaison entre les fréquences expérimentales et la probabilité théorique
Dans l’expérience réalisée (tableau des 14 lancers), la somme 5
apparaît 4 fois, ce qui donne une fréquence expérimentale d’environ 28,6
%.
• Pour la somme 5, le nombre de combinaisons possibles théoriques est de
4 (car 1+4, 2+3, 3+2, 4+1 donnent 5) sur 36, soit une probabilité
théorique de 4/36 ≈ 11,11 %.
D’un autre côté, la somme 7, qui est la plus fréquente dans le tableau complet des possibilités, a une probabilité théorique de 6/36 soit environ 16,67 %.
On constate ainsi que les fréquences expérimentales (résultats
obtenus sur 14 lancers) ne correspondent pas toujours exactement aux
probabilités théoriques calculées sur l’ensemble des 36 résultats
possibles.
• Cela s’explique par le fait que la série expérimentale est courte et
que des écarts peuvent apparaître lorsqu’on effectue un nombre limité
d’essais. • Si l’on effectuait un plus grand nombre d’expériences, on
s’attendrait à ce que la répartition des sommes se rapproche des valeurs
théoriques (par exemple, la somme 7 apparaîtrait alors environ 16,67 %
du temps).
Conclusion :
– Les différences entre les fréquences observées dans l’expérience et
les probabilités théoriques s’expliquent par le nombre limité
d’expériences réalisées.
– Le tableau complet des combinaisons permet de déterminer clairement la
probabilité d’une somme donnée (ici 7) en examinant toutes les
possibilités.
────────────────────────────── Récapitulatif final :
Cette correction détaillée permet de comprendre à la fois le calcul des combinaisons possibles ainsi que la différence entre ce que l’on peut attendre théoriquement et ce qui est obtenu dans une expérience avec un nombre limité de lancers.