Exercice 20

Voici le réseau de sentiers pour les cyclistes entre Montmartre et La Villette.

Deux cyclistes partent en même temps dans des directions opposées, à la même vitesse : l’un part de Montmartre en direction de La Villette, et l’autre part de La Villette en direction de Montmartre.

1. Quelle est la probabilité qu’ils se croisent s’ils choisissent leurs sentiers sans communiquer et excluent le sentier du vieux moulin ?

2. Même question, mais cette fois les cyclistes peuvent emprunter n’importe quel sentier, y compris celui du vieux moulin.

Réponse

Réponses :

1. La probabilité de croisement est de 0 %.

2. La probabilité de croisement est de 25 %.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Nous allons analyser les deux questions posées en déterminant la probabilité que les deux cyclistes se croisent en fonction des sentiers disponibles.

Données de l’exercice

• Point de départ : Montmartre et La Villette.
• Cyclistes : Deux cyclistes partent en même temps, en sens opposés, à la même vitesse.
• Sentiers disponibles : Un réseau de sentiers entre Montmartre et La Villette, incluant le sentier du vieux moulin.

Question a)

Exclusion du sentier du vieux moulin.

Analyse

Lorsqu’on exclut le sentier du vieux moulin, les cyclistes doivent emprunter les autres sentiers disponibles pour rejoindre leur destination respective. Supposons que :

• S’il n’existe qu’un seul sentier alternatif pour chaque cycliste sans passer par le vieux moulin, alors ils n’ont aucun sentier commun en dehors du sentier exclu.

Conclusion

Si les deux cyclistes n’ont aucun sentier commun, ils ne pourront jamais se croiser.

Calcul de la probabilité

La probabilité \(P\) que les cyclistes se croisent est donc :

\[ P = 0 \]

Question b)

Inclusion du sentier du vieux moulin.

Analyse

En incluant le sentier du vieux moulin, les cyclistes ont désormais plusieurs options de sentiers, dont le vieux moulin qui est un sentier communal aux deux itinéraires.

Supposons que :

• Chaque cycliste a deux choix de sentiers : soit emprunter le vieux moulin, soit prendre un autre sentier.
• Les choix sont effectués indépendamment.

Calcul de la probabilité

Pour que les cyclistes se croisent, ils doivent tous les deux emprunter le sentier du vieux moulin.

La probabilité \(P\) que chaque cycliste choisisse le vieux moulin est \(\frac{1}{2}\).

Ainsi, la probabilité qu’ils choisissent tous les deux le vieux moulin est :

\[ P = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]

Conclusion

La probabilité que les deux cyclistes se croisent en empruntant le vieux moulin est de 25 %.

Résumé des résultats

• Question a) : Probabilité de croisement \(P = 0\) (0 %).
• Question b) : Probabilité de croisement \(P = \frac{1}{4}\) (25 %).