Question :
Marie souhaite organiser une fête et distribuer six cartes — trois rouges et trois bleues — dans deux paquets, en veillant à ce que chaque paquet contienne au moins une carte.
Le comité organisateur choisira un des paquets et en retirera une carte. Si la carte est rouge, la fête sera réussie ; sinon, elle sera reportée.
Quelle distribution des cartes dans les paquets maximise les chances que la fête soit réussie ?
Réponse courte : Pour maximiser la probabilité à 70 %, mettez une seule carte rouge dans un paquet et les deux cartes rouges restantes avec les trois cartes bleues dans l’autre.
Pour maximiser les chances que la fête soit réussie, il faut réfléchir à la manière dont la probabilité de tirer une carte rouge se calcule pour chacun des paquets, sachant que le comité choisira l’un des deux paquets de façon équitable (50 % pour chacun).
Soit deux paquets, A et B, contenant respectivement nA et nB cartes (avec nA + nB = 6 et nA, nB ≥ 1). Dans chaque paquet, il y a un certain nombre de cartes rouges. Notons rA le nombre de rouges dans le paquet A et rB le nombre de rouges dans le paquet B (avec rA + rB = 3).
Si un paquet est choisi, la probabilité d’en tirer une carte rouge est le rapport entre le nombre de rouges et le nombre total de cartes dans ce paquet. La probabilité totale de succès (P) est donc la moyenne des probabilités issues de chaque paquet : P = ½ × (rA/nA) + ½ × (rB/nB).
Pour maximiser P, il est avantageux d’avoir dans un paquet une probabilité de tirer une carte rouge aussi élevée que possible. La meilleure situation est d’avoir ce rapport égal à 1, c’est-à-dire que dans ce paquet toutes les cartes sont rouges.
On peut alors choisir de placer exactement une carte dans le premier paquet et de s’arranger pour qu’elle soit rouge. Ainsi : Paquet A : nA = 1 carte dont rA = 1 (la probabilité de tirer une rouge dans ce paquet est 1/1 = 1). Paquet B : le reste avec nB = 5 cartes, et il reste alors 2 cartes rouges (puisque 3 – 1 = 2) et 3 cartes bleues. La probabilité de tirer une carte rouge dans ce paquet est rB/nB = 2/5.
Calculons la probabilité totale de réussite : P = ½ × 1 + ½ × (2/5) = ½ + (1/5) = (5/10) + (2/10) = 7/10.
Cette probabilité, soit 70 %, est la meilleure que l’on peut obtenir avec la distribution des cartes.
En résumé, la meilleure stratégie est : – Mettre une seule carte rouge dans un paquet. – Mettre les deux autres cartes rouges et les trois cartes bleues dans l’autre paquet.
Cette répartition permet de maximiser vos chances de succès lors du tirage.