Exercice 18

Problème

Un chemin vertical est composé de plusieurs panneaux équipés de clous disposés de manière à permettre à une bille de descendre uniquement vers le bas. À chaque panneau, la bille peut dévier vers la droite ou vers la gauche, puis continue sa descente vers le panneau suivant.

Quelle est la probabilité que la bille atteigne le compartiment \(C\) par rapport au compartiment \(D\) ?

Réponse

La probabilité d’atteindre le compartiment \(C\) ou \(D\) est de 50 % chacune.

Corrigé détaillé

Correction Détaillée

Énoncé du Problème

Un chemin vertical est composé de plusieurs panneaux équipés de clous disposés de manière à permettre à une bille de descendre uniquement vers le bas. À chaque panneau, la bille peut dévier vers la droite ou vers la gauche, puis continue sa descente vers le panneau suivant.

Question : Quelle est la probabilité que la bille atteigne le compartiment \(C\) par rapport au compartiment \(D\) ?

Analyse du Problème

Pour déterminer la probabilité que la bille atteigne le compartiment \(C\) par rapport au compartiment \(D\), nous devons comprendre le parcours possible de la bille à chaque panneau et comment ces choix influencent la position finale de la bille.

Hypothèses

1. Nombre de Panneaux : Supposons qu’il y a \(n\) panneaux dans le chemin.
2. Choix à Chaque Panneau : À chaque panneau, la bille a deux choix possibles :
   • Dévier vers la droite (D).
   • Dévier vers la gauche (G).
3. Probabilités Équilibrées : Chaque choix (droite ou gauche) est également probable, c’est-à-dire \(P(D) = P(G) = 0.5\).

Modélisation du Parcours

Le parcours de la bille peut être modélisé comme une série de décisions binaires. À chaque panneau, la bille choisit soit \(D\) soit \(G\). Après \(n\) panneaux, le chemin de la bille est déterminé par la séquence de \(D\) et \(G\) choisis.

Détermination des Compartiments \(C\) et \(D\)

Supposons que les compartiments \(C\) et \(D\) sont définis en fonction du nombre de fois que la bille a dévié à droite ou à gauche :

• Compartiment \(C\) : La bille dévie plus vers la gauche qu’à droite.
• Compartiment \(D\) : La bille dévie plus vers la droite qu’à gauche.

Calcul des Probabilités

Pour que la bille atteigne \(C\), le nombre de déviations à gauche (\(k\)) doit être supérieur au nombre de déviations à droite. Inversement, pour atteindre \(D\), \(k\) doit être inférieur au nombre de déviations à droite.

Étant donné que chaque choix est indépendant et équitable, les probabilités de dévier vers la gauche ou la droite sont symétriques.

Cas Symétrique

Puisque les probabilités sont équilibrées et que les choix sont indépendants, la probabilité d’atteindre \(C\) est égale à celle d’atteindre \(D\).

\[ P(C) = P(D) \]

Calcul Numérique

Puisque les deux événements sont les seuls possibles et qu’ils sont mutuellement exclusifs :

\[ P(C) + P(D) = 1 \]

Et comme \(P(C) = P(D)\), alors :

\[ 2P(C) = 1 \implies P(C) = \frac{1}{2} \]

\[ P(D) = \frac{1}{2} \]

Conclusion

La probabilité que la bille atteigne le compartiment \(C\) est égale à celle qu’elle atteigne le compartiment \(D\), soit \(\frac{1}{2}\) ou 50 %.

\[ P(C) = P(D) = \frac{1}{2} \]