Question: Dans le jeu “Montée en Puissance”, joué avec un dé standard, une règle stipule :
«Si vous obtenez un 5, vous pouvez avancer de 2 cases supplémentaires. Si un 5 apparaît une deuxième fois de suite, vous pouvez avancer encore de 3 cases. Cependant, si un 5 est obtenu une troisième fois consécutivement, vous devez renvoyer tous vos pions sur la case départ.»
Cette situation risque-t-elle de se produire fréquemment ?
La probabilité d’obtenir trois 5 consécutifs est de 0,46 %. Ainsi, renvoyer tous les pions au départ est rare dans le jeu “Montée en Puissance”.
Correction de l’exercice :
Pour déterminer si la situation où un joueur obtient trois fois le chiffre 5 consécutivement dans le jeu “Montée en Puissance” risque de se produire fréquemment, nous allons calculer la probabilité de cet événement.
L’événement que nous étudions est l’obtention du chiffre 5 trois fois de suite lors de lancers consécutifs d’un dé standard à six faces.
Un dé standard a 6 faces numérotées de 1 à 6. La probabilité d’obtenir un 5 en un lancer est donc :
\[ P(5) = \frac{1}{6} \]
Chaque lancer étant indépendant des précédents, la probabilité d’obtenir un 5 trois fois de suite est le produit des probabilités individuelles :
\[ P(\text{5 puis 5 puis 5}) = P(5) \times P(5) \times P(5) = \left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216} \approx 0,46\% \]
Une probabilité d’environ 0,46 % signifie que, en moyenne, sur 216 lancers, cet événement se produira une fois.
Étant donné que la probabilité d’obtenir trois 5 consécutifs est extrêmement faible (0,46 %), la situation où un joueur doit renvoyer tous ses pions sur la case départ ne risque pas de se produire fréquemment dans le jeu “Montée en Puissance”.