Exercice 15

Dans une boîte, trois billes numérotées 2, 5 et 9 sont placées. Elles sont extraites une à une sans remise. Le premier chiffre extrait correspond au chiffre des centaines, le deuxième à celui des dizaines et le troisième au chiffre des unités.

1. Établis la liste de tous les nombres possibles.

2. Quelle est la probabilité d’obtenir 259 ?

3. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre inférieur à 295 ?

4. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre supérieur à 952 ?

Réponse

Résumé de la correction :

1. Les nombres possibles sont : 259, 295, 529, 592, 925, 952.

2. La probabilité d’obtenir 259 est \(\frac{1}{6}\).

3. La probabilité d’obtenir un nombre inférieur à 295 est \(\frac{1}{6}\).

4. La probabilité d’obtenir un nombre supérieur à 952 est 0.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

a) Établis la liste de tous les nombres possibles.

Étape 1 : Comprendre le problème

Nous disposons de trois billes numérotées 2, 5 et 9. Ces billes sont extraites une à une sans remise, ce qui signifie qu’une fois une bille tirée, elle n’est plus remise dans la boîte. Chaque bille extraite correspond à une position dans le nombre à former :

• Premier chiffre extrait : chiffre des centaines
• Deuxième chiffre extrait : chiffre des dizaines
• Troisième chiffre extrait : chiffre des unités

Étape 2 : Déterminer toutes les permutations possibles

Étant donné que les billes sont extraites sans remise et que chaque chiffre est distinct, nous devons trouver toutes les permutations possibles des trois chiffres.

Le nombre total de permutations pour 3 éléments distincts est donné par : \[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]

Étape 3 : Lister toutes les combinaisons

1. 2 en centaines, 5 en dizaines, 9 en unités : 259
2. 2 en centaines, 9 en dizaines, 5 en unités : 295
3. 5 en centaines, 2 en dizaines, 9 en unités : 529
4. 5 en centaines, 9 en dizaines, 2 en unités : 592
5. 9 en centaines, 2 en dizaines, 5 en unités : 925
6. 9 en centaines, 5 en dizaines, 2 en unités : 952

Réponse :

Les nombres possibles sont : 259, 295, 529, 592, 925, 952.

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b) Quelle est la probabilité d’obtenir 259 ?

Étape 1 : Identifier le nombre total de cas possibles

Comme nous l’avons vu précédemment, le nombre total de nombres possibles est 6.

Étape 2 : Identifier le nombre de cas favorables

Il n’y a qu’un seul cas favorable pour obtenir le nombre 259.

Étape 3 : Calculer la probabilité

La probabilité \(P\) d’obtenir un événement est donnée par : \[ P = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}} \]

En appliquant les valeurs : \[ P = \frac{1}{6} \]

Réponse :

La probabilité d’obtenir 259 est \(\frac{1}{6}\).

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c) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre inférieur à 295 ?

Étape 1 : Identifier les nombres inférieurs à 295

Parmi la liste des nombres possibles : 259, 295, 529, 592, 925, 952.

Les nombres inférieurs à 295 sont : - 259

Étape 2 : Nombre de cas favorables

Il y a 1 nombre inférieur à 295.

Étape 3 : Calculer la probabilité

\[ P = \frac{1}{6} \]

Réponse :

La probabilité d’obtenir un nombre inférieur à 295 est \(\frac{1}{6}\).

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d) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre supérieur à 952 ?

Étape 1 : Identifier les nombres supérieurs à 952

Parmi la liste des nombres possibles : 259, 295, 529, 592, 925, 952.

Nous cherchons les nombres supérieurs strictement à 952. Observons les nombres :

• 952 est le nombre le plus élevé possible avec les chiffres donnés.
• Aucun nombre dans la liste n’est supérieur à 952.

Étape 2 : Nombre de cas favorables

Il n’y a aucun nombre supérieur à 952.

Étape 3 : Calculer la probabilité

\[ P = \frac{0}{6} = 0 \]

Réponse :

La probabilité d’obtenir un nombre supérieur à 952 est 0.