Exercice 11

Question : La corde \(CD\) divise le disque en deux régions.

Les cordes \(CD\), \(CE\) et \(DE\) divisent le disque en quatre régions.

En traçant toutes les cordes reliant deux à deux huit points situés sur le cercle, combien obtiendras-tu de régions au maximum ?

Réponse

En reliant toutes les paires de huit points sur un cercle, on obtient au maximum 99 régions.

Corrigé détaillé

Pour déterminer le nombre maximal de régions créées en traçant toutes les cordes reliant deux à deux huit points situés sur un cercle, nous allons procéder étape par étape. Suivons une logique progressive pour comprendre comment ce nombre est calculé.

Étape 1 : Comprendre le problème

Lorsqu’on place des points sur le cercle et qu’on trace des cordes entre eux, ces cordes peuvent se croiser à l’intérieur du disque, créant ainsi de nouvelles régions. L’objectif est de trouver le nombre maximal de régions obtenues en connectant tous les points de manière optimale.

Étape 2 : Observer des exemples simples

Commençons par examiner des cas avec un nombre réduit de points pour identifier un schéma.

1. Avec 1 point :
   • Il n’y a pas de corde.
   • Nombre de régions : 1
2. Avec 2 points :
   • Une seule corde possible.
   • Cela divise le disque en 2 régions.
3. Avec 3 points :
   • Trois cordes possibles (chaque paire de points est connectée).
   • Les cordes ne se croisent pas.
   • Le disque est divisé en 4 régions.
4. Avec 4 points :
   • Six cordes possibles.
   • Les cordes se croisent au centre.
   • Le disque est divisé en 8 régions.

Étape 3 : Identifier le motif

En observant les exemples précédents, nous pouvons remarquer que chaque nouvelle corde ajoutée peut augmenter le nombre de régions en fonction du nombre de croisements qu’elle crée avec les cordes existantes. Pour généraliser, nous utilisons une formule basée sur des combinaisons.

Étape 4 : Utiliser la formule générale

La formule permettant de calculer le nombre maximal de régions \(R(n)\) créées en traçant toutes les cordes entre \(n\) points sur un cercle est la suivante :

\[ R(n) = 1 + \dbinom{n}{2} + \dbinom{n}{4} \]

Où : - \(\dbinom{n}{2}\) représente le nombre de cordes possibles (combinaisons de 2 points parmi \(n\)). - \(\dbinom{n}{4}\) représente le nombre de croisements possibles (chaque groupe de 4 points crée un croisement unique).

Étape 5 : Appliquer la formule pour \(n = 8\)

Calculons chaque terme de la formule pour \(n = 8\).

1. Calcul de \(\dbinom{8}{2}\) :

\[ \dbinom{8}{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \]

2. Calcul de \(\dbinom{8}{4}\) :

\[ \dbinom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70 \]

3. Addition des termes :

\[ R(8) = 1 + 28 + 70 = 99 \]

Conclusion

En traçant toutes les cordes reliant deux à deux huit points situés sur un cercle, tu obtiendras au maximum 99 régions.