Question : Considérez un pavé rectangulaire de dimensions quelconques composé de \(n\) petits cubes unitaires identiques. Lorsque ce pavé est plongé dans de la peinture bleue, déterminez le nombre de petits cubes ayant :
En résumé, pour un pavé de dimensions a × b × c (a, b, c ≥ 2) :
• 3 faces peintes : 8 cubes
• 2 faces peintes : 4(a + b + c – 6) cubes
• 1 face peinte : 2[(a – 2)(b – 2) + (a – 2)(c – 2) + (b – 2)(c – 2)]
cubes
• 0 face peinte : (a – 2)(b – 2)(c – 2) cubes
Soit un pavé rectangulaire constitué de petits cubes unitaires dont les dimensions sont a × b × c (avec a, b, c entiers positifs et, pour l’intérêt du problème, supposés supérieurs ou égaux à 2). Le nombre total de cubes est n = a · b · c. Lorsque le pavé est plongé dans de la peinture, seuls les petits cubes situés sur la surface se font peindre. Nous allons détailler le décompte des cubes suivant le nombre de faces peintes.
────────────────────────────── 1. Les cubes ayant trois faces peintes
(les coins)
────────────────────────────── Chaque coin du pavé correspond à un cube
qui touche trois faces extérieures. Un pavé possède toujours 8
coins.
► Réponse : il y a 8 cubes ayant trois faces peintes.
────────────────────────────── 2. Les cubes ayant deux faces peintes
(les arêtes, hors coins)
────────────────────────────── Les cubes ayant deux faces peintes se
trouvent sur les arêtes du pavé, mais ne sont pas aux extrémités
(c’est-à-dire, ils ne sont pas les coins déjà comptés).
Considérons une arête de longueur L (qui correspond à l’une des dimensions a, b ou c). Les cubes de l’arête qui ne sont pas aux extrémités sont en nombre de (L – 2).
Un pavé a 12 arêtes et ces arêtes se répartissent selon les
dimensions :
– 4 arêtes de longueur a
– 4 arêtes de longueur b
– 4 arêtes de longueur c
Ainsi, le nombre total de cubes sur les arêtes (hors coins) est
:
4(a – 2) + 4(b – 2) + 4(c – 2) = 4[(a – 2) + (b – 2) + (c – 2)]
= 4(a + b + c – 6).
► Réponse : il y a 4(a + b + c – 6) cubes ayant deux faces peintes.
────────────────────────────── 3. Les cubes ayant une face peinte
(les faces, hors arêtes)
────────────────────────────── Ces cubes se trouvent à l’intérieur de
chaque face du pavé, mais ne touchant ni les arêtes ni les coins.
Chaque face du pavé est un rectangle. Pour une face de dimensions a ×
b, par exemple, les cubes qui ne sont pas sur le contour forment un
rectangle de dimensions (a – 2) × (b – 2).
On procède de même pour les autres faces :
• Face de dimension a × b : (a – 2)(b – 2)
• Face de dimension a × c : (a – 2)(c – 2)
• Face de dimension b × c : (b – 2)(c – 2)
Chaque type de face apparaît deux fois (face opposée) dans le
pavé.
Ainsi, le nombre total de cubes avec une face peinte est :
2[(a – 2)(b – 2) + (a – 2)(c – 2) + (b – 2)(c – 2)].
► Réponse : il y a 2[(a – 2)(b – 2) + (a – 2)(c – 2) + (b – 2)(c – 2)] cubes ayant une face peinte.
────────────────────────────── 4. Les cubes n’ayant aucune face
peinte (les cubes intérieurs)
────────────────────────────── Ces cubes sont ceux qui ne sont pas en
contact avec l’extérieur, c’est-à-dire les cubes formant le « noyau »
intérieur du pavé. Pour les obtenir, on retire l’enveloppe d’épaisseur 1
autour du pavé.
Le nombre de cubes intérieurs s’obtient en enlevant 2 couches de
cubes dans chacune des dimensions :
► Dimensions intérieures : (a – 2), (b – 2) et (c – 2).
Le nombre total de cubes non peints est : (a – 2)(b – 2)(c – 2).
► Réponse : il y a (a – 2)(b – 2)(c – 2) cubes n’ayant aucune face peinte.
────────────────────────────── Récapitulatif
────────────────────────────── 1. Trois faces peintes : 8
2. Deux faces peintes : 4(a + b + c – 6)
3. Une face peinte : 2[(a – 2)(b – 2) + (a – 2)(c – 2) + (b – 2)(c –
2)]
4. Aucune face peinte : (a – 2)(b – 2)(c – 2)
Ces formules permettent de décompter le nombre de petits cubes selon
le nombre de faces peintes lors du trempage du pavé dans la
peinture.
Cette démarche repose sur la répartition géométrique des cubes aux
coins, le long des arêtes, sur les faces et à l’intérieur du pavé.
Voilà la correction détaillée et complète de l’exercice.