Question :
On dispose de deux urnes :
Dans chaque urne, les boules sont identiques au toucher et ont la même probabilité d’être tirées. On considère l’expérience suivante : « On tire une boule verte et on note son numéro, puis on tire une boule jaune et on note son numéro. »
Par exemple, si on tire la boule verte numérotée 2 puis la boule jaune numérotée 5, le tirage obtenu sera noté \((2; 5)\). On précise que le tirage \((2; 5)\) est différent du tirage \((5; 2)\).
On définit les événements suivants :
Questions :
Pour chacun des deux événements précédents, indiquez s’il est possible ou impossible qu’il se produise lors de l’expérience.
Quel est le nombre de tirages possibles ?
Déterminez la probabilité de l’événement : « On obtient deux nombres premiers. »
Déterminez la probabilité de l’événement : « La somme des nombres est égale à 8. »
On obtient un « double » lorsque les deux boules tirées portent le même numéro. Justifiez que la probabilité d’obtenir un « double » lors de cette expérience est \(\frac{1}{3}\).
Réponses résumé : a. Les deux événements (deux nombres premiers et somme égale à 8) sont possibles. b. Il y a 12 tirages possibles. c. La probabilité d’obtenir deux nombres premiers est de 1/3. d. La probabilité d’obtenir une somme égale à 8 est de 1/6. e. La probabilité d’obtenir un double est de 1/3.
Nous allons détailler chaque point de l’exercice en expliquant pas à pas la démarche employée.
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Question a. Possibilité des événements
Événement « On obtient deux nombres premiers »
– Dans l’urne verte, les numéros disponibles sont 1, 2 et 3. Parmi eux,
2 et 3 sont des nombres premiers.
– Dans l’urne jaune, les numéros disponibles sont 3, 4, 5 et 6. Par
définition, 3 et 5 sont premiers.
Comme il est possible de tirer par exemple (2; 3) ou (3; 5), cet
événement peut se produire.
Événement « La somme des nombres est égale à 8 »
On cherche deux nombres (le premier provenant de l’urne verte, le second
de l’urne jaune) dont la somme est 8. • Si la boule verte est 2, alors
il faut que la boule jaune soit 6 (2 + 6 = 8) et 6 fait bien partie des
numéros de l’urne jaune. • Si la boule verte est 3, il faut que la boule
jaune soit 5 (3 + 5 = 8) et 5 est disponible dans l’urne jaune. Ainsi,
par exemple, (2; 6) et (3; 5) sont deux tirages qui donnent une somme de
8.
On peut donc conclure que cet événement est également possible.
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Question b. Nombre de tirages possibles
Chaque tirage consiste à prélever une boule dans l’urne verte puis
une boule dans l’urne jaune.
– L’urne verte contient 3 boules.
– L’urne jaune contient 4 boules.
Le nombre total de tirages possibles est donc :
3 × 4 = 12
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Question c. Probabilité de l’événement « On obtient deux nombres
premiers »
Pour déterminer cette probabilité, il faut compter le nombre de tirages favorables puis diviser par le nombre total de tirages (qui est 12).
• Dans l’urne verte, pour obtenir un nombre premier, il faut tirer soit la boule 2 soit la boule 3 → 2 possibilités. • Dans l’urne jaune, pour obtenir un nombre premier, il faut tirer soit la boule 3 soit la boule 5 → 2 possibilités.
Les combinaisons possibles (nombre premier dans chaque urne) sont donc : (2; 3), (2; 5), (3; 3), (3; 5) Cela fait 4 tirages favorables.
La probabilité est alors : P(deux nombres premiers) = nombre de cas favorables / nombre total de tirages = 4/12 = 1/3
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Question d. Probabilité de l’événement « La somme des nombres est égale
à 8 »
Nous avons recherché les tirages (représentés par (boule verte; boule
jaune)) pour lesquels la somme est 8.
Les possibilités identifiées sont : • Si la boule verte est 2, il faut
que la boule jaune soit 6 → (2; 6) • Si la boule verte est 3, il faut
que la boule jaune soit 5 → (3; 5)
Il y a 2 tirages favorables sur 12 tirages possibles.
Ainsi, la probabilité est : P(somme égale à 8) = 2/12 = 1/6
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Question e. Probabilité d’obtenir un « double »
On appelle « double » le tirage où les deux boules portent le même
numéro.
Pour qu’un double soit possible, il faut que le numéro tiré dans l’urne
verte figure aussi parmi les numéros de l’urne jaune.
Examinons le contenu de chaque urne : • Urne verte : 1, 2, 3
• Urne jaune : 3, 4, 5, 6
Le seul numéro commun aux deux urnes est 3.
Ainsi, pour obtenir un double, il faut que la boule verte tirée soit
la boule portant le numéro 3.
Dans l’urne verte, chacune des 3 boules a la même chance d’être tirée,
la probabilité d’obtenir la boule 3 est donc : P(boule verte = 3) =
1/3
Dans le raisonnement présenté dans l’exercice, on justifie ainsi que l’événement « double » ne peut survenir que si la boule verte tirée porte le numéro 3, ce qui a une probabilité de 1/3.
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Récapitulatif des réponses
Cette démarche permet de comprendre comment, en utilisant le principe fondamental du calcul des probabilités (nombre de cas favorables divisé par le nombre total de cas possibles), on trouve les probabilités demandées.