Une urne contient 7 boules vertes, 4 boules noires et 3 boules blanches. On effectue deux tirages avec remplacement, en notant la couleur de chaque boule tirée.
Quelle est la probabilité que la première boule tirée soit noire ?
Quelle est la probabilité que la deuxième boule tirée soit noire ?
Quelle est la probabilité que les deux boules tirées soient noires.
Quelle est la probabilité qu’au moins une des deux boules tirées soit noire ?
Résumé des probabilités :
Première boule noire : \(\frac{2}{7}\) (28,57 %)
Deuxième boule noire : \(\frac{2}{7}\) (28,57 %)
Les deux boules noires : \(\frac{4}{49}\) (8,16 %)
Au moins une boule noire : \(\frac{24}{49}\) (48,98 %)
Nous avons une urne contenant : - 7 boules vertes, - 4 boules noires, - 3 boules blanches.
Le nombre total de boules dans l’urne est : \[ 7 + 4 + 3 = 14 \text{ boules} \]
Les tirages sont effectués avec remplacement, ce qui signifie que le nombre total de boules reste constant pour chaque tirage.
Pour déterminer cette probabilité, nous utilisons la formule de base de probabilité : \[ P(\text{ noir au premier tirage}) = \frac{\text{Nombre de boules noires}}{\text{Nombre total de boules}} \]
En remplaçant les valeurs : \[ P(\text{ noir au premier tirage}) = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \approx 0,2857 \text{ (ou 28,57 \%)} \]
Conclusion : La probabilité que la première boule tirée soit noire est de \(\frac{2}{7}\), soit environ 28,57 %.
Étant donné que le tirage est effectué avec remplacement, la composition de l’urne reste inchangée pour le deuxième tirage. Ainsi, la probabilité que la deuxième boule soit noire est identique à celle du premier tirage.
\[ P(\text{ noir au deuxième tirage}) = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \approx 0,2857 \text{ (ou 28,57 \%)} \]
Conclusion : La probabilité que la deuxième boule tirée soit noire est également de \(\frac{2}{7}\), soit environ 28,57 %.
Pour que les deux boules soient noires, chaque tirage doit aboutir à une boule noire. Comme les tirages sont indépendants (avec remplacement), nous multiplions les probabilités des deux événements.
\[ P(\text{ les deux noires}) = P(\text{ noir au premier tirage}) \times P(\text{ noir au deuxième tirage}) \]
En remplaçant les valeurs : \[ P(\text{ les deux noires}) = \frac{2}{7} \times \frac{2}{7} = \frac{4}{49} \approx 0,0816 \text{ (ou 8,16 \%)} \]
Conclusion : La probabilité que les deux boules tirées soient noires est de \(\frac{4}{49}\), soit environ 8,16 %.
Pour calculer cette probabilité, il est plus simple de calculer la probabilité de l’événement complémentaire, c’est-à-dire que aucune des deux boules tirées ne soit noire, puis de soustraire ce résultat de 1.
Probabilité qu’aucune des deux boules ne soit noire :
Le nombre de boules non noires dans l’urne est : \[ 7 \text{ vertes} + 3 \text{ blanches} = 10 \text{ boules non noires} \]
Donc, \[ P(\text{ aucune noire}) = \frac{10}{14} \times \frac{10}{14} = \frac{100}{196} = \frac{25}{49} \approx 0,5102 \text{ (ou 51,02 \%)} \]
Probabilité qu’au moins une boule soit noire : \[ P(\text{ au moins une noire}) = 1 - P(\text{ aucune noire}) = 1 - \frac{25}{49} = \frac{24}{49} \approx 0,4898 \text{ (ou 48,98 \%)} \]
Conclusion : La probabilité qu’au moins une des deux boules tirées soit noire est de \(\frac{24}{49}\), soit environ 48,98 %.
Probabilité que la première boule soit noire : \[ \frac{2}{7} \approx 28,57 \% \]
Probabilité que la deuxième boule soit noire : \[ \frac{2}{7} \approx 28,57 \% \]
Probabilité que les deux boules soient noires : \[ \frac{4}{49} \approx 8,16 \% \]
Probabilité qu’au moins une des deux boules soit noire : \[ \frac{24}{49} \approx 48,98 \% \]
Le remplacement des boules après chaque tirage assure que les probabilités restent constantes pour chaque tirage, ce qui facilite le calcul des probabilités pour les événements successifs.
En suivant ces étapes, on peut déterminer avec précision les différentes probabilités associées aux tirages de boules dans une urne, en tenant compte du remplacement après chaque tirage.
Aucune source externe n’a été utilisée pour cette correction. Tout est basé sur les connaissances fondamentales en probabilité.
Merci de votre attention. N’hésitez pas à pratiquer avec d’autres exercices similaires pour renforcer votre compréhension des probabilités.