Exercice 5

Question : Vrai ou faux ? Justifiez votre réponse.

1. Est-ce que si on tire une carte d’un jeu standard de 52 cartes, la probabilité d’obtenir un roi est de \(\frac{1}{13}\) ?

2. Est-ce que lorsqu’on lance deux pièces simultanément, la probabilité d’obtenir deux faces est de \(\frac{1}{4}\) ?

3. Est-ce que dans une boîte contenant 8 boules bleues et 4 boules vertes, la probabilité de tirer une boule verte après avoir retiré une boule bleue est de \(\frac{1}{3}\) ?

4. Est-ce que si on lance un dé équilibré trois fois, la probabilité d’obtenir au moins un 5 est supérieure à \(\frac{1}{2}\) ?

Réponse

Réponses : a) Vrai ; b) Vrai ; c) Faux ; d) Faux.

Corrigé détaillé

Nous allons examiner chaque affirmation en détail.

────────────────────────────── a) Tirer un roi d’un jeu standard de 52 cartes.

1. Un jeu de 52 cartes contient 4 rois (un dans chaque couleur).
2. La probabilité d’obtenir un roi est donc le nombre de rois divisé par le nombre total de cartes : 4 ÷ 52.
3. En simplifiant 4/52, on divise numérateur et dénominateur par 4 : (4 ÷ 4)/(52 ÷ 4) = 1/13.

Conclusion : L’affirmation est VRAIE.

────────────────────────────── b) Lancer deux pièces simultanément pour obtenir deux faces.

1. Lorsqu’on lance deux pièces, chaque pièce a 2 issues possibles (face ou pile).
2. Le nombre total d’issues est 2 × 2 = 4. Les issues possibles sont : (Face, Face), (Face, Pile), (Pile, Face) et (Pile, Pile).
3. Seule une issue correspond à deux faces, c’est celle où les deux pièces montrent “face”.
4. La probabilité est donc 1 favorable ÷ 4 issues = 1/4.

Conclusion : L’affirmation est VRAIE.

────────────────────────────── c) Dans une boîte contenant 8 boules bleues et 4 boules vertes, la probabilité de tirer une boule verte après avoir retiré une boule bleue.

1. Initialement, la boîte contient 8 boules bleues et 4 boules vertes, soit 12 boules.
2. Si l’on retire une boule bleue, il reste alors : 8 - 1 = 7 boules bleues, et toujours 4 boules vertes.
3. Le total de boules après retrait est 7 + 4 = 11.
4. La probabilité de tirer une boule verte dans ce nouveau contexte est le nombre de boules vertes divisé par le total de boules, c’est-à-dire 4 ÷ 11.
5. La fraction 4/11 n’est pas égale à 1/3 (puisque 4/11 ≈ 0,3636 et 1/3 ≈ 0,3333).

Conclusion : L’affirmation est FAUSSE.

────────────────────────────── d) Lancer un dé équilibré trois fois pour obtenir au moins un 5.

1. Il est souvent plus simple de calculer la probabilité de l’événement complémentaire, ici “ne pas obtenir de 5” en trois lancers.
2. Pour un dé équilibré, la probabilité d’obtenir un 5 lors d’un lancer est de 1/6. Par conséquent, la probabilité de ne pas obtenir un 5 est de 5/6.
3. Étant donné que les lancers sont indépendants, la probabilité de ne jamais obtenir de 5 en trois lancers est (5/6)³.
4. Calculons (5/6)³ = 125/216.
5. Pour trouver la probabilité d’obtenir au moins un 5, il faut soustraire ce résultat de 1 : Probabilité = 1 − (125/216) = (216/216 − 125/216) = 91/216.
6. Pour comparer 91/216 à 1/2, notons que 1/2 = 108/216. Puisque 91/216 < 108/216, la probabilité n’est pas supérieure à 1/2.

Conclusion : L’affirmation est FAUSSE.

────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :
a) Vrai
b) Vrai
c) Faux
d) Faux