Question : Une classe de \(4^{e}\) est composée de 30 élèves. Certains sont internes, les autres sont externes. Le tableau ci-dessous présente la répartition de la classe.
| Garçons | Filles | Total | |
|---|---|---|---|
| Internes | 5 | ||
| Externes | 12 | ||
| Total | 30 |
On choisit un élève de cette classe. Quelle est la probabilité que :
cet élève soit une fille ?
cet élève soit externe ?
Si cet élève est interne, quelle est la probabilité que ce soit un garçon ?
Tableau complété : Garçons Filles Total
Internes 5 5 10
Externes 12 8 20
Total 17 13 30
Nous allons compléter le tableau étape par étape en utilisant les informations données et en raisonnant par élimination.
────────────────────────────── 1 – Analyse des informations données
On sait que la classe comporte 30 élèves répartis entre internes et externes. Dans le tableau :
• Chez les internes, le nombre de filles est indiqué 5 et le nombre
de garçons n’est pas donné.
• Chez les externes, le nombre de garçons est indiqué 12 et celui des
filles est inconnu.
On doit donc compléter les trois lignes du tableau (pour internes, externes et total).
────────────────────────────── 2 – Choix des valeurs pour compléter le tableau
Pour compléter le tableau, il est utile de donner des valeurs qui respectent la somme totale de 30 élèves.
Notons : • G₍I₎ : nombre de garçons internes
• F₍I₎ : nombre de filles internes = 5
• G₍E₎ : nombre de garçons externes = 12
• F₍E₎ : nombre de filles externes
Le total d’élèves étant 30, la somme des élèves internes et externes doit être 30.
Nous avons donc : – Nombre total d’internes = G₍I₎ + 5
– Nombre total d’externes = 12 + F₍E₎
L’addition de ces deux nombres doit donner 30 : G₍I₎ + 5 + 12 +
F₍E₎ = 30
G₍I₎ + F₍E₎ + 17 = 30
G₍I₎ + F₍E₎ = 13 (1)
Pour simplifier, on peut choisir des valeurs simples qui satisfont l’équation (1). Par exemple, nous pouvons poser : G₍I₎ = 5 et F₍E₎ = 8 Car 5 + 8 = 13.
────────────────────────────── 3 – Compléter le tableau avec ces valeurs
Avec G₍I₎ = 5 et F₍E₎ = 8, on peut compléter le tableau :
• Internes :
– Garçons = 5
– Filles = 5
– Total internes = 5 + 5 = 10
• Externes :
– Garçons = 12
– Filles = 8
– Total externes = 12 + 8 = 20
Vérifions les totaux généraux : – Total garçons = 5 (internes) + 12
(externes) = 17
– Total filles = 5 (internes) + 8 (externes) = 13
– Total élèves = 10 (internes) + 20 (externes) = 30
Le tableau complété s’obtient donc :
Garçons Filles Total Internes 5 5 10 Externes 12 8 20 Total 17 13 30
────────────────────────────── 4 – Calcul des probabilités
On choisit un élève de la classe.
────────────────────────────── b) Probabilité que cet élève soit une fille
Le nombre total de filles est 13 et le nombre total d’élèves est
30.
La probabilité est donc : P(fille) = 13/30
────────────────────────────── c) Probabilité que cet élève soit externe
Le nombre total d’élèves externes est 20.
La probabilité est : P(externe) = 20/30
On peut simplifier la fraction en divisant le numérateur et le
dénominateur par 10 : 20/30 = 2/3
────────────────────────────── d) Probabilité que cet élève soit un garçon sachant qu’il est interne
On regarde la ligne des internes.
Nombre de garçons internes = 5
Nombre total d’élèves internes = 10
La probabilité conditionnelle est donc : P(garçon | interne) = 5/10 = 1/2
────────────────────────────── 5 – Récapitulatif de la correction
Garçons Filles Total
Internes 5 5 10
Externes 12 8 20
Total 17 13 30
────────────────────────────── Conclusion
En complétant le tableau et en utilisant les totaux correspondants, nous avons pu calculer les différentes probabilités demandées en divisant le nombre d’éléments favorables par le nombre total correspondant à chaque situation.