Exercice 2

Question :
Marie possède trois boîtes fermées posées sur sa table. Dans l’une des boîtes se trouve une étoile, dans une autre une lune, et dans la troisième un soleil. Après avoir choisi une boîte, elle ouvre l’une des deux restantes, montre qu’elle ne contient ni étoile ni soleil, et déclare : « Le trésor n’est pas dans cette boîte ! »

Dois-je conserver mon choix initial ou le modifier ?

Ce problème est connu sous le nom de paradoxe de Monty Hall.

Réponse

Il est préférable de modifier votre choix initial, car cela augmente vos chances de gagner de 1/3 à 2/3.

Corrigé détaillé

Correction :

Pour déterminer s’il est préférable de conserver votre choix initial ou de le modifier dans le paradoxe de Monty Hall, suivons une démarche étape par étape.

Étape 1 : Comprendre le problème

Marie possède trois boîtes fermées :

• Boîte A : Contient une étoile.
• Boîte B : Contient une lune.
• Boîte C : Contient un soleil.

Vous choisissez une boîte au hasard, sans savoir ce qu’elle renferme. Supposons que vous ayez choisi la Boîte A.

Étape 2 : Analyser les probabilités initiales

Au départ, il y a trois boîtes et une seule contient le trésor (étendue, lune ou soleil). Les probabilités sont donc réparties comme suit :

• Probabilité que la Boîte A contienne le trésor : \(\frac{1}{3}\)
• Probabilité que le trésor soit dans la Boîte B : \(\frac{1}{3}\)
• Probabilité que le trésor soit dans la Boîte C : \(\frac{1}{3}\)

Étape 3 : Marie ouvre une boîte vide

Après votre choix initial (Boîte A), Marie ouvre l’une des deux boîtes restantes (Boîte B ou Boîte C) qui ne contient ni étoile ni soleil. Supposons qu’elle ouvre la Boîte B et montre qu’elle ne contient ni étoile ni soleil, donc ce n’est pas la Boîte B qui contient le trésor.

Étape 4 : Réévaluer les probabilités

Après que Marie a ouvert la Boîte B et a révélé qu’elle ne contient pas le trésor, les probabilités se réajustent :

• Probabilité que le trésor soit dans la Boîte A (votre choix initial) : \(\frac{1}{3}\)
• Probabilité que le trésor soit dans la Boîte C : \(\frac{2}{3}\)

Pourquoi ?

• Initialement, les chances étaient de \(\frac{1}{3}\) pour chaque boîte.
• Lorsque Marie ouvre une boîte vide, elle donne une information supplémentaire qui élimine une possibilité.
• La probabilité initiale de \(\frac{2}{3}\) pour les deux boîtes restantes se concentre désormais entièrement sur la Boîte C, car la Boîte B est vide.

Étape 5 : Décider de conserver ou de modifier votre choix

• Si vous conservez votre choix initial (Boîte A), vos chances de gagner restent à \(\frac{1}{3}\).
• Si vous modifiez votre choix pour la Boîte C, vos chances de gagner augmentent à \(\frac{2}{3}\).

Conclusion

Il est préférable de modifier votre choix initial. En changeant de boîte, vous doublez vos chances de remporter le trésor, passant de \(\frac{1}{3}\) à \(\frac{2}{3}\).