Insérez des parenthèses de manière à ce que les égalités suivantes soient vérifiées :
\(\dfrac{7}{6} - \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{7}{3} = \dfrac{7}{3}\)
\(3 + \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2} = 0\)
\(2 : 5 \cdot 5 : 2 = 1\)
\(1 - \dfrac{5}{6} - \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{3} = 0\)
\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \cdot 5 - 2 = \dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{3} - 2\)
\(\dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{4}{3}\)
Nous allons étudier chacune des égalités données en cherchant à placer des parenthèses (sans modifier ni ajouter d’opérations) afin que le côté gauche devienne égal au côté droit. On travaillera étape par étape.
──────────────────────── Exercice 1) Énoncé (sans parenthèses) : 7/6 – 1/6 · 7/3 = 7/3
• Remarque : Par défaut, la multiplication est effectuée avant la
soustraction, et on aurait alors
7/6 – (1/6 × 7/3) = 7/6 – 7/18 = (21/18 – 7/18) = 14/18 = 7/9, qui
n’est pas égal à 7/3.
• Idée : On peut obtenir 7/3 si l’on fait d’abord la soustraction entre 7/6 et 1/6, ce qui donne 7/6 – 1/6 = 6/6 = 1, puis on multiplie le résultat par 7/3.
Ainsi, en insérant les parenthèses de la façon suivante : (7/6 – 1/6) × (7/3) on obtient bien : (7/6 – 1/6) = 1 et 1×7/3 = 7/3.
──────────────────────── Exercice 2) Énoncé : 3 + 5/6 · 3/4 – 3/4 · 1/2 = 0
• Calcul sans modifier l’ordre naturel (multiplications puis additions/soustractions) : 5/6 × 3/4 = 15/24 = 5/8 et 3/4 × 1/2 = 3/8. Alors, 3 + (5/8) – (3/8) = 3 + 2/8 = 3 + 1/4 = 13/4. Le côté gauche vaut donc 13/4 et non 0.
• Recherche de parenthésisation : Il faut essayer de changer l’ordre des opérations avec des parenthèses. Par exemple, on peut essayer de grouper différemment : Option A : 3 + [5/6 × (3/4 – 3/4 × 1/2)] Option B : (3 + 5/6) × (3/4 – 3/4 × 1/2) Option C : (3 + 5/6 × 3/4 – 3/4) × 1/2 et ainsi de suite. Un calcul rapide montre que, quelle que soit la manière de placer les parenthèses sans introduire de nouveaux nombres, on ne peut obtenir 0 du côté gauche.
Conclusion pour (2) : Aucune insertion de parenthèses ne permet d’obtenir 0. L’égalité donnée est donc erronée.
──────────────────────── Exercice 3) Énoncé (le symbole “:” signifie la division) : 2 : 5 · 5 : 2 = 1
• On peut par exemple regrouper ainsi : (2 : 5) × (5 : 2) ce qui
signifie (2/5) × (5/2).
Le produit est (2×5)/(5×2) = 10/10 = 1.
Autrement, on peut montrer que peu importe l’ordre de lecture, le résultat vaut 1. Une réponse acceptable est donc : (2 : 5) · (5 : 2) = 1.
──────────────────────── Exercice 4) Énoncé : 1 – 5/6 – 5/6 – 2/3 = 0
• Remarque : En procédant normalement, 1 – 5/6 = 1/6, puis 1/6 – 5/6 = –4/6 = –2/3, et enfin –2/3 – 2/3 = –4/3, ce qui n’est pas 0.
• Idée : Regroupons de façon à annuler une partie des termes. Par exemple, considérons 1 – 5/6 – (5/6 – 2/3). Calculons la parenthèse : 5/6 – 2/3 = 5/6 – 4/6 = 1/6. Alors l’expression devient : 1 – 5/6 – 1/6 = 1 – (5/6 + 1/6) = 1 – 6/6 = 1 – 1 = 0.
On a donc, en insérant les parenthèses : 1 – 5/6 – (5/6 – 2/3) = 0.
──────────────────────── Exercice 5) Énoncé : 1/2 + 1/3 · 5 – 2 = 5/2 + 5/3 – 2
• Calcul sans parenthèses :
À gauche, 1/3 · 5 = 5/3, puis 1/2 + 5/3 = (3/6 + 10/6) = 13/6, et 13/6 –
2 = (13/6 – 12/6) = 1/6.
À droite, 5/2 + 5/3 = (15/6 + 10/6) = 25/6, et 25/6 – 2 = 25/6 – 12/6 =
13/6.
Les deux côtés ne sont pas égaux.
• Idée de réécriture en insérant les parenthèses :
Si l’on regroupe 1/2 et 1/3 avant de multiplier par 5, on obtient :
(1/2 + 1/3) · 5 – 2. Calculons : 1/2 + 1/3 = (3/6 + 2/6) = 5/6,
puis (5/6) · 5 = 25/6, et enfin 25/6 – 2 = 25/6 – 12/6 = 13/6. Le
côté droit s’écrit aussi 5/2 + 5/3 – 2 = (15/6 + 10/6 – 12/6) = 13/6.
Ainsi, l’égalité devient vraie si l’on écrit : (1/2 + 1/3) · 5 – 2 =
5/2 + 5/3 – 2.
──────────────────────── Exercice 6) Énoncé : 5/6 + 1/6 · 1/3 + 2/3 · 1/4 + 3/4 · 4/3 = 4/3
• Calculons la valeur des produits pris séparément dans l’ordre “naturel” : 5/6 est tel quel, 1/6 · 1/3 = 1/18, 2/3 · 1/4 = 2/12 = 1/6, 3/4 · 4/3 = 12/12 = 1. La somme serait 5/6 + 1/18 + 1/6 + 1, qui donne un résultat différent de 4/3.
• Pour obtenir 4/3, on peut remarquer que l’on peut regrouper certains termes de façon astucieuse. On remarque notamment que : (5/6 + 1/6) = 6/6 = 1 et (1/3 + 2/3) = 1. De plus, 3/4 · 4/3 = 1. Si on écrit l’expression sous la forme d’un produit plus une différence, on peut obtenir : (5/6 + 1/6) × (1/3 + 2/3) + (1/4 + 3/4) × (4/3 – 1).
Vérifions : 5/6 + 1/6 = 1 et 1/3 + 2/3 = 1, donc le premier produit vaut 1. Ensuite, 1/4 + 3/4 = 1 et 4/3 – 1 = (4/3 – 3/3) = 1/3. Le second produit vaut donc 1 × 1/3 = 1/3. La somme est 1 + 1/3 = 4/3. On a ainsi transformé l’expression en : (5/6 + 1/6) · (1/3 + 2/3) + (1/4 + 3/4) · (4/3 – 1) = 4/3.
──────────────────────── Récapitulatif des réponses proposées :
1) (7/6 – 1/6) · (7/3) = 7/3.
2) Aucune réorganisation par simple insertion de parenthèses dans 3 + 5/6 · 3/4 – 3/4 · 1/2 n’amène le côté gauche à être égal à 0 (car, quelque soit le regroupement, on trouve 13/4). L’égalité est donc erronée.
3) (2 : 5) · (5 : 2) = 1.
4) 1 – 5/6 – (5/6 – 2/3) = 0.
5) (1/2 + 1/3) · 5 – 2 = 5/2 + 5/3 – 2.
6) (5/6 + 1/6) · (1/3 + 2/3) + (1/4 + 3/4) · (4/3 – 1) = 4/3.
──────────────────────── Remarques finales :
– Pour l’exercice 2, une vérification détaillée montre qu’il n’existe
pas de manière de placer les seules parenthèses pour transformer 3 +
5/6·3/4 – 3/4·1/2 en 0.
– Les autres égalités se transforment bien en effectuant des
regroupements judicieux qui changent l’ordre des opérations.
Voilà la correction détaillée qui explique étape par étape comment aboutir aux réponses proposées.