Exercice 3

Question :

a. On considère l’expression

\[ D = 4y + 2y(y + 3) \]

• Souligne l’opération prioritaire.

• Développe et réduis l’expression \(D\).

b. On considère l’expression

\[ E = 6 - 3(2 - 4v) \]

• Complète : \(E = 6 + (\ldots) \cdot (2 - 4v)\).

• Développe et réduis l’expression \(E\).

c. On considère l’expression

\[ F = 5y - (3y + 2) \cdot 6 \]

• Ajoute des crochets autour de l’opération prioritaire.

• Développe et réduis l’expression \(F\).

Réponse

1. D = 2y² + 10y
   
2. E = 12v
   
3. F = -13y - 12

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre chacune des parties en détaillant chaque étape.

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a. Expression D
Expression donnée :
  D = 4y + 2y(y + 3)

1. Opération prioritaire
   Avant tout, il faut repérer l’opération qui doit être effectuée en premier. Ici, dans l’expression 2y(y + 3), l’addition (y + 3) est réalisée en premier car elle est à l’intérieur de la parenthèse, puis on effectue la multiplication par 2y.
   On peut donc souligner l’opération prioritaire de la manière suivante (en écrivant à la main) :
     4y + ──────────2y(y + 3)──────────
   Cela indique que le calcul de 2y(y + 3) doit être effectué avant d’additionner 4y.

2. Développement et réduction
   On développe 2y(y + 3) en multipliant 2y par chaque terme à l’intérieur de la parenthèse :

  2y(y + 3) = 2y × y + 2y × 3
        = 2y² + 6y

Maintenant, on remplace dans D :

  D = 4y + (2y² + 6y)
    = 2y² + (4y + 6y)
    = 2y² + 10y

La forme développée et réduite de D est donc :
  D = 2y² + 10y

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b. Expression E
Expression donnée :
  E = 6 - 3(2 - 4v)

1. Compléter avec un signe +
   Nous souhaitons réécrire E sous la forme :
     E = 6 + ( … ) × (2 - 4v)
   Pour cela, remarquons que soustraire 3(2 - 4v) revient à ajouter le produit de -3 par (2 - 4v).
   Ainsi, le nombre à placer dans les parenthèses sera -3.
   On obtient :
     E = 6 + (–3) · (2 - 4v)

2. Développement et réduction
   On développe l’expression en multipliant (–3) par chacun des termes de (2 - 4v) :

  (–3) × 2 = –6
  (–3) × (–4v) = +12v

Donc :

  E = 6 – 6 + 12v
    = 0 + 12v
    = 12v

La forme développée et réduite de E est donc :
  E = 12v

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c. Expression F
Expression donnée :
  F = 5y - (3y + 2) · 6

1. Ajout des crochets
   Pour bien indiquer l’opération prioritaire, nous ajoutons des crochets autour de (3y + 2) · 6.
   On écrit alors :
     F = 5y - [ (3y + 2) · 6 ]

2. Développement et réduction
   On développe le terme [ (3y + 2) · 6 ] en multipliant 6 par chacun des termes à l’intérieur de la parenthèse :

  6 × 3y = 18y
  6 × 2 = 12

Ainsi :

  F = 5y - (18y + 12)

Pour retirer la parenthèse, il faut faire attention au signe moins qui se place devant :

  F = 5y - 18y - 12

Ensuite, on regroupe les termes semblables :
  5y - 18y = -13y

La forme développée et réduite de F est donc :
  F = -13y - 12

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Résumé des réponses :

1. D = 2y² + 10y
     (En soulignant l’opération prioritaire : 2y(y + 3))   Développement : 2y(y + 3) = 2y² + 6y, puis addition avec 4y.

2. E = 12v
     (Compléter : E = 6 + (–3)(2 - 4v))   Développement : (–3)(2 - 4v) = –6 + 12v, ensuite 6 - 6 = 0.

3. F = -13y - 12
     (Ajouter des crochets : F = 5y - [(3y + 2) · 6])   Développement : (3y + 2) · 6 = 18y + 12, puis 5y - 18y - 12.

Chaque étape a été expliquée clairement pour faciliter la compréhension.