Placer des parenthèses de telle manière que les égalités suivantes soient vérifiées :
\(10 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = 7\)
\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + 1 = 1\)
\(\frac{1}{5} + \frac{2}{3} - \frac{1}{5} + \frac{2}{3} + \frac{1}{7} = \frac{1}{7}\)
\(5 \cdot \frac{3}{2} - 2 + \frac{1}{2} = 0\)
\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} - 1 = 0\)
\(\frac{7}{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1} = 2\)
Résumé des corrections :
Exercice 1 :
\(10 \cdot \left(\frac{1}{2} +
\frac{1}{5}\right) = 7\)
Exercice 2 :
Aucune solution possible avec les parenthèses.
Exercice 3 :
Aucune solution possible avec les parenthèses.
Exercice 4 :
\(5 \cdot \left(\frac{3}{2} - 2 +
\frac{1}{2}\right) = 0\)
Exercice 5 :
\(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) \cdot
\frac{4}{3} - 1 = 0\)
Exercice 6 :
Aucune solution possible avec les parenthèses.
Bien sûr, examinons chaque égalité et plaçons les parenthèses de manière appropriée pour qu’elles soient vérifiées.
Problème : Placer les parenthèses pour que l’égalité soit vérifiée.
Solution :
Analysons l’expression initiale : \[10 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{5}\]
Calculons sans parenthèses : \[10 \times \frac{1}{2} = 5\] \[5 + \frac{1}{5} = 5,2\] Ce qui n’est pas égal à 7.
Pour obtenir 7, plaçons les parenthèses différemment : \[ 10 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{5}\right) \]
Calculons à l’intérieur des parenthèses : \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = \frac{7}{10} \]
Maintenant, multiplions par 10 : \[ 10 \times \frac{7}{10} = 7 \]
Réponse corrigée : \[ 10 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{5}\right) = 7 \]
Problème : Placer les parenthèses pour que l’égalité soit vérifiée.
Solution :
Examinons l’expression initiale : \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + 1 \]
Calculons sans parenthèses : \[ \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{15} \] \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{15} = \frac{15}{30} + \frac{2}{30} = \frac{17}{30} \] \[ \frac{17}{30} + 1 = \frac{17}{30} + \frac{30}{30} = \frac{47}{30} \approx 1,5667 \] Ce qui n’est pas égal à 1.
Pour ajuster, plaçons les parenthèses autour de \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\) et multiplions par \(\frac{1}{5}\) : \[ \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) \cdot \frac{1}{5} + 1 \]
Calculons à l’intérieur des parenthèses : \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \]
Multipliant par \(\frac{1}{5}\) : \[ \frac{5}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{6} \]
Ajoutons 1 : \[ \frac{1}{6} + 1 = \frac{1}{6} + \frac{6}{6} = \frac{7}{6} \approx 1,1667 \] Toujours supérieur à 1.
Essayons de placer les parenthèses autrement : \[ \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + 1\right) \]
Calculons \(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15}\) \[ \frac{1}{15} + 1 = \frac{1}{15} + \frac{15}{15} = \frac{16}{15} \] \[ \frac{1}{2} + \frac{16}{15} = \frac{15}{30} + \frac{32}{30} = \frac{47}{30} \approx 1,5667 \] Non égal à 1.
Considérons une autre possibilité en utilisant une soustraction implicite. Mais, vu les opérations disponibles, il semble qu’il n’est pas possible de placer des parenthèses pour que l’égalité soit vérifiée. Il se peut qu’il y ait une erreur dans l’énoncé ou que des opérations supplémentaires soient nécessaires.
Conclusion : Aucun placement de parenthèses ne permet d’obtenir l’égalité \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + 1 = 1\).
Problème : Placer les parenthèses pour que l’égalité soit vérifiée.
Solution :
Analysons l’expression initiale : \[ \frac{1}{5} + \frac{2}{3} - \frac{1}{5} + \frac{2}{3} + \frac{1}{7} \]
Sans parenthèses, simplifions : \[ \frac{1}{5} - \frac{1}{5} = 0 \] \[ 0 + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \] \[ \frac{4}{3} + \frac{1}{7} = \frac{28}{21} + \frac{3}{21} = \frac{31}{21} \approx 1,4762 \] Ce qui n’est pas égal à \(\frac{1}{7} \approx 0,1429\).
Pour obtenir \(\frac{1}{7}\), il est nécessaire de réduire la somme. Essayons de regrouper les termes :
\[ \left(\frac{1}{5} + \frac{2}{3} - \frac{1}{5}\right) + \frac{2}{3} + \frac{1}{7} \] \[ \left(0 + \frac{2}{3}\right) + \frac{2}{3} + \frac{1}{7} = \frac{4}{3} + \frac{1}{7} \neq \frac{1}{7} \]
Essayons de placer les parenthèses de manière à soustraire une fraction importante : \[ \frac{1}{5} + \left(\frac{2}{3} - \frac{1}{5}\right) + \frac{2}{3} + \frac{1}{7} \] Calculons : \[ \frac{2}{3} - \frac{1}{5} = \frac{10}{15} - \frac{3}{15} = \frac{7}{15} \] \[ \frac{1}{5} + \frac{7}{15} = \frac{3}{15} + \frac{7}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \] \[ \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \] \[ \frac{4}{3} + \frac{1}{7} = \frac{31}{21} \neq \frac{1}{7} \]
Une autre tentative : \[ \frac{1}{5} + \frac{2}{3} - \left(\frac{1}{5} + \frac{2}{3} + \frac{1}{7}\right) \] Calculons à l’intérieur des parenthèses : \[ \frac{1}{5} + \frac{2}{3} + \frac{1}{7} = \frac{21}{105} + \frac{70}{105} + \frac{15}{105} = \frac{106}{105} \] \[ \frac{1}{5} + \frac{2}{3} = \frac{3}{15} + \frac{10}{15} = \frac{13}{15} \] \[ \frac{13}{15} - \frac{106}{105} = \frac{91}{105} - \frac{106}{105} = -\frac{15}{105} = -\frac{1}{7} \] Ce qui est l’opposé de \(\frac{1}{7}\). Donc, pour obtenir \(\frac{1}{7}\), multiplions par -1 : \[ -\left(\frac{1}{5} + \frac{2}{3} - \left(\frac{1}{5} + \frac{2}{3} + \frac{1}{7}\right)\right) = \frac{1}{7} \]
Réponse corrigée : \[ -\left(\frac{1}{5} + \frac{2}{3} - \left(\frac{1}{5} + \frac{2}{3} + \frac{1}{7}\right)\right) = \frac{1}{7} \] ou simplifié : \[ \frac{1}{5} + \frac{2}{3} - \left(\frac{1}{5} + \frac{2}{3} + \frac{1}{7}\right) = -\frac{1}{7} \]
Cependant, pour obtenir \(\frac{1}{7}\), il semble qu’une solution directe n’existe pas sans introduire des opérations supplémentaires.
Problème : Placer les parenthèses pour que l’égalité soit vérifiée.
Solution :
Observons l’expression : \[ 5 \cdot \frac{3}{2} - 2 + \frac{1}{2} \]
Calculons sans parenthèses : \[ 5 \times \frac{3}{2} = \frac{15}{2} = 7,5 \] \[ 7,5 - 2 = 5,5 \] \[ 5,5 + \frac{1}{2} = 6 \] Ce qui n’est pas égal à 0.
Pour obtenir 0, il faut réduire la somme. Essayons de regrouper les termes négatifs :
Placetons les parenthèses autour de \(5 \cdot \frac{3}{2}\) et \(-2\) : \[ \left(5 \cdot \frac{3}{2} - 2\right) + \frac{1}{2} \] Calculons : \[ 5 \times \frac{3}{2} = \frac{15}{2} \] \[ \frac{15}{2} - 2 = \frac{15}{2} - \frac{4}{2} = \frac{11}{2} \] \[ \frac{11}{2} + \frac{1}{2} = \frac{12}{2} = 6 \neq 0 \]
Essayons de placer les parenthèses différemment : \[ 5 \cdot \left(\frac{3}{2} - 2\right) + \frac{1}{2} \] Calculons à l’intérieur des parenthèses : \[ \frac{3}{2} - 2 = \frac{3}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{1}{2} \] \[ 5 \times -\frac{1}{2} = -\frac{5}{2} \] \[ -\frac{5}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{4}{2} = -2 \neq 0 \]
Une autre tentative : \[ 5 \cdot \frac{3}{2} - \left(2 + \frac{1}{2}\right) \] Calculons : \[ 5 \times \frac{3}{2} = \frac{15}{2} \] \[ 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \] \[ \frac{15}{2} - \frac{5}{2} = \frac{10}{2} = 5 \neq 0 \]
Enfin, plaçons les parenthèses de manière à inclure toutes les opérations : \[ 5 \cdot \left(\frac{3}{2} - 2 + \frac{1}{2}\right) \] Calculons à l’intérieur des parenthèses : \[ \frac{3}{2} - 2 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = 0 \] \[ 5 \times 0 = 0 \]
Réponse corrigée : \[ 5 \cdot \left(\frac{3}{2} - 2 + \frac{1}{2}\right) = 0 \]
Problème : Placer les parenthèses pour que l’égalité soit vérifiée.
Solution :
Examinons l’expression : \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} - 1 \]
Calculons sans parenthèses : \[ \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \] \[ \frac{5}{6} - 1 = \frac{5}{6} - \frac{6}{6} = -\frac{1}{6} \neq 0 \]
Pour obtenir 0, ajustons l’ordre des opérations avec les parenthèses :
Essayons : \[ \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} - 1\right) \] Calculons à l’intérieur des parenthèses : \[ \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{1}{3} \] \[ \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3} \] \[ \frac{1}{2} + \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{6} \neq 0 \]
Essayons de réorganiser les parenthèses : \[ \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) \cdot \frac{4}{3} - 1 \] Calculons à l’intérieur des parenthèses : \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] \[ \frac{3}{4} \times \frac{4}{3} = 1 \] \[ 1 - 1 = 0 \]
Réponse corrigée : \[ \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) \cdot \frac{4}{3} - 1 = 0 \]
Problème : Placer les parenthèses pour que l’égalité soit vérifiée.
Solution :
Analysons l’expression : \[ \frac{7}{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2 \]
Calculons sans parenthèses : \[ \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} \] \[ \frac{1}{2} \times 2 = 1 \] \[ \frac{7}{6} - \frac{1}{12} + 1 \] Convertissons en dénominateur commun (12) : \[ \frac{14}{12} - \frac{1}{12} + \frac{12}{12} = \frac{25}{12} \approx 2,0833 \neq 2 \]
Pour obtenir 2, ajustons les parenthèses :
Essayons : \[ \left(\frac{7}{6} - \frac{1}{6}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2 \] Calculons : \[ \frac{7}{6} - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \] \[ 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \] \[ \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} = 1,5 \neq 2 \]
Essayons une autre disposition : \[ \frac{7}{6} - \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2\right) \] Calculons à l’intérieur des parenthèses : \[ \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} \] \[ \frac{1}{2} \times 2 = 1 \] \[ \frac{1}{12} + 1 = \frac{13}{12} \] \[ \frac{7}{6} - \frac{13}{12} = \frac{14}{12} - \frac{13}{12} = \frac{1}{12} \neq 2 \]
Une autre possibilité : \[ \frac{7}{6} - \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) \cdot 2\right) \] Calculons : \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \] \[ \frac{1}{6} \times 1 \times 2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] \[ \frac{7}{6} - \frac{1}{3} = \frac{7}{6} - \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \neq 2 \]
Enfin, plaçons les parenthèses autour des deux dernières fractions : \[ \frac{7}{6} - \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) \cdot 2 \] Calculons : \[ \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} \] \[ \frac{1}{12} + \frac{1}{2} = \frac{1}{12} + \frac{6}{12} = \frac{7}{12} \] \[ \frac{7}{12} \times 2 = \frac{14}{12} = \frac{7}{6} \] \[ \frac{7}{6} - \frac{7}{6} = 0 \neq 2 \]
Il semble qu’aucun placement de parenthèses simple ne permette d’obtenir l’égalité souhaitée.
Conclusion : Aucun placement de parenthèses ne permet d’obtenir l’égalité \(\frac{7}{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2 = 2\).