Exercice 11

Question : Détermine les nombres suivants :

1. \(\operatorname{ppmc}(14,\ 28)\)

2. \(\operatorname{ppmc}(45,\ 60)\)

3. \(\operatorname{pgdc}(54,\ 90)\)

4. \(\operatorname{pgdc}(36,\ 84)\)

Réponse

Réponses :

1. \(28\)

2. \(180\)

3. \(18\)

4. \(12\)

Corrigé détaillé

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Correction détaillée des exercices

a) \(\operatorname{ppmc}(14,\ 28)\)

Étape 1 : Décomposition en facteurs premiers

• 14 : \[ 14 = 2 \times 7 \]
• 28 : \[ 28 = 2^2 \times 7 \]

Étape 2 : Identifier les facteurs premiers communs et non communs

Les facteurs premiers sont 2 et 7.

Étape 3 : Prendre la plus haute puissance de chaque facteur premier

• Pour 2 : la plus haute puissance est \(2^2\) (de 28).
• Pour 7 : la puissance est \(7^1\).

Étape 4 : Calculer le PPMC

\[ \operatorname{ppmc}(14, 28) = 2^2 \times 7 = 4 \times 7 = 28 \]

Réponse : \(28\)

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b) \(\operatorname{ppmc}(45,\ 60)\)

Étape 1 : Décomposition en facteurs premiers

• 45 : \[ 45 = 3^2 \times 5 \]
• 60 : \[ 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \]

Étape 2 : Identifier les facteurs premiers communs et non communs

Les facteurs premiers sont 2, 3 et 5.

Étape 3 : Prendre la plus haute puissance de chaque facteur premier

• Pour 2 : \(2^2\) (de 60).
• Pour 3 : \(3^2\) (de 45).
• Pour 5 : \(5^1\).

Étape 4 : Calculer le PPMC

\[ \operatorname{ppmc}(45, 60) = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180 \]

Réponse : \(180\)

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c) \(\operatorname{pgdc}(54,\ 90)\)

Étape 1 : Décomposition en facteurs premiers

• 54 : \[ 54 = 2 \times 3^3 \]
• 90 : \[ 90 = 2 \times 3^2 \times 5 \]

Étape 2 : Identifier les facteurs premiers communs

Les facteurs communs sont 2 et 3.

Étape 3 : Prendre la plus petite puissance de chaque facteur commun

• Pour 2 : \(2^1\).
• Pour 3 : \(3^2\).

Étape 4 : Calculer le PGDC

\[ \operatorname{pgdc}(54, 90) = 2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18 \]

Réponse : \(18\)

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d) \(\operatorname{pgdc}(36,\ 84)\)

Étape 1 : Décomposition en facteurs premiers

• 36 : \[ 36 = 2^2 \times 3^2 \]
• 84 : \[ 84 = 2^2 \times 3 \times 7 \]

Étape 2 : Identifier les facteurs premiers communs

Les facteurs communs sont 2 et 3.

Étape 3 : Prendre la plus petite puissance de chaque facteur commun

• Pour 2 : \(2^2\).
• Pour 3 : \(3^1\).

Étape 4 : Calculer le PGDC

\[ \operatorname{pgdc}(36, 84) = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12 \]

Réponse : \(12\)

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