Exercice 10

Question :

1. Écris \(630\) et \(750\) sous forme de produits de facteurs premiers.

2. Rends alors la fraction \(\frac{630}{750}\) irréductible.

Réponse

630 = 2 × 3² × 5 × 7  750 = 2 × 3 × 5³  et  630/750 = 21/25.

Corrigé détaillé

Voici la démarche détaillée pour répondre à la question :

────────────────────────────── a. Écriture de 630 et 750 sous forme de produits de facteurs premiers

1. Pour 630 :

   • On peut décomposer 630 en 63 × 10. • Détail :
     – 63 peut s’écrire 7 × 9, or 9 = 3 × 3. Donc 63 = 7 × 3 × 3 = 7 × 3².
     – 10 se décompose en 2 × 5.

   • En combinant ces décompositions, on obtient :
     630 = 63 × 10 = (7 × 3²) × (2 × 5)
     Donc, 630 = 2 × 3² × 5 × 7.

2. Pour 750 :

   • On peut écrire 750 comme 75 × 10. • Détail :   – 75 se décompose en 3 × 25, et 25 = 5 × 5 = 5², d’où 75 = 3 × 5².
     – 10 se décompose en 2 × 5.

   • En combinant ces décompositions, on obtient :
     750 = 75 × 10 = (3 × 5²) × (2 × 5)   Ainsi, 750 = 2 × 3 × 5³.

────────────────────────────── b. Réduction de la fraction 630/750 en sa forme irréductible

La fraction initiale est :   630/750 = (2 × 3² × 5 × 7) / (2 × 3 × 5³).

Procédons à la simplification en annulant les facteurs communs :

1. Le facteur 2 :
     Annulation de 2 dans le numérateur et le dénominateur.

2. Le facteur 3 :
     Dans le numérateur, il y a 3² et dans le dénominateur un 3. En supprimant un facteur 3, il reste 3¹ dans le numérateur.

3. Le facteur 5 :
     Dans le numérateur, il y a un 5 et dans le dénominateur 5³. En supprimant un 5, il reste dans le dénominateur 5².

En appliquant ces simplifications, la fraction devient :   (3 × 7) / (5²).

Calculons :   3 × 7 = 21 et 5² = 25.

La fraction irréductible est donc :   630/750 = 21/25.

────────────────────────────── Conclusion :

1. 630 = 2 × 3² × 5 × 7 et 750 = 2 × 3 × 5³.

2. La fraction 630/750 se réduit en 21/25.