Exercice 9

Question : La fraction \(\frac{156}{275}\) est-elle irréductible ? Justifie.

Réponse

La fraction \(\frac{156}{275}\) est irréductible car 156 et 275 n’ont aucun facteur commun autre que 1.

Corrigé détaillé

Correction :

Pour déterminer si la fraction \(\frac{156}{275}\) est irréductible, nous devons vérifier si le numérateur (156) et le dénominateur (275) ont un diviseur commun autre que 1.

Étape 1 : Décomposition en facteurs premiers

a) Décomposition de 156 :

1. Divisibilité par 2 : 156 est un nombre pair, donc divisible par 2. \[ 156 \div 2 = 78 \]
2. Divisibilité de 78 par 2 : 78 est également pair. \[ 78 \div 2 = 39 \]
3. Divisibilité de 39 par 3 : La somme des chiffres de 39 est \(3 + 9 = 12\), qui est divisible par 3. \[ 39 \div 3 = 13 \]
4. 13 est un nombre premier.

Ainsi, la décomposition en facteurs premiers de 156 est : \[ 156 = 2 \times 2 \times 3 \times 13 = 2^2 \times 3 \times 13 \]

b) Décomposition de 275 :

1. Divisibilité par 5 : 275 se termine par 5, donc divisible par 5. \[ 275 \div 5 = 55 \]
2. 55 est divisible par 5 : \[ 55 \div 5 = 11 \]
3. 11 est un nombre premier.

Ainsi, la décomposition en facteurs premiers de 275 est : \[ 275 = 5 \times 5 \times 11 = 5^2 \times 11 \]

Étape 2 : Identifier les facteurs communs

En comparant les décompositions :

• Facteurs de 156 : \(2^2\), \(3\), \(13\)
• Facteurs de 275 : \(5^2\), \(11\)

Il n’y a aucun facteur commun entre 156 et 275 autre que 1.

Conclusion :

Puisque le seul diviseur commun de 156 et 275 est 1, la fraction \(\frac{156}{275}\) est irréductible.