Exercice 7

Question :

1. Claire, Julien et Yann partent ensemble du même point de départ de trois parcours de vélo situés dans le même parc :

• Claire roule à une vitesse moyenne de \(12\,\mathrm{km/h}\) sur le chemin des Lilas, une boucle de 6 km ;
• Julien roule à une vitesse moyenne de \(15\,\mathrm{km/h}\) sur le chemin des Érables, une boucle de 4 km ;
• Yann roule à une vitesse moyenne de \(18\,\mathrm{km/h}\) sur le chemin des Bouleaux, une boucle de 5 km.

Yann propose que chacun continue de rouler sur son propre parcours jusqu’à ce que les trois se retrouvent ensemble au point de départ.

Après combien de temps se réuniront-ils au point de départ ?

2. Le lendemain, Yann suggère que chacun échange de boucle tout en maintenant les mêmes modalités de vélo.

Qu’observes-tu ?

Réponse

1. 20 heures
   
2. 20 minutes

Corrigé détaillé

Nous allons étudier chacune des parties de l’exercice en détaillant toutes les étapes de calcul et le raisonnement derrière.

────────────────────────────── Partie a) – Pour combien de temps faut-il rouler pour que Claire, Julien et Yann se retrouvent en même temps au point de départ ?

Chacun parcourt à vélo une boucle qui, avec sa vitesse, détermine le temps qu’il met à effectuer un tour complet. Pour se retrouver, chaque cycliste doit avoir effectué un nombre entier de tours. Nous allons donc commencer par calculer le temps que met chacun à compléter sa boucle.

1. Calcul du temps d’un tour pour chaque vélo : • Claire :   – Distance du parcours = 6 km
     – Vitesse moyenne = 12 km/h
     – Temps pour un tour = (distance) / (vitesse) = 6 km ÷ 12 km/h = 0,5 heure
     Cela signifie que Claire fait un tour en 0,5 heure (soit 30 minutes).

   • Julien :   – Distance du parcours = 4 km
     – Vitesse moyenne = 15 km/h
     – Temps pour un tour = 4 km ÷ 15 km/h = 4/15 heure
     Pour mieux comprendre, calculons en minutes :    4/15 heure × 60 minutes = 16 minutes
     Julien fait donc un tour en 16 minutes exactement.

   • Yann :   – Distance du parcours = 5 km
     – Vitesse moyenne = 18 km/h
     – Temps pour un tour = 5 km ÷ 18 km/h = 5/18 heure
     En minutes, cela donne :    5/18 heure × 60 minutes = (5×60)/18 = 300/18 = 50/3 minutes, soit environ 16 minutes et 40 secondes exactement.

2. Pour que les trois se retrouvent ensemble, il faut que le temps total T soit un multiple entier du temps de tour de chacun : • Pour Claire, T doit être un multiple de 0,5 heure. • Pour Julien, T doit être un multiple de 4/15 heure. • Pour Yann, T doit être un multiple de 5/18 heure.

Nous cherchons le plus petit temps T (en heures) pour lequel :   T = (nombre entier de tours de Claire) × (0,5 heure)   T = (nombre entier de tours de Julien) × (4/15 heure)   T = (nombre entier de tours de Yann) × (5/18 heure)

Pour simplifier, exprimons ces conditions en formulant le nombre de tours effectués chacun :

  – Nombre de tours de Claire = T ÷ (1/2) = 2T
  – Nombre de tours de Julien = T ÷ (4/15) = (15T)/4
  – Nombre de tours de Yann = T ÷ (5/18) = (18T)/5

Ces trois expressions doivent être des nombres entiers. Autrement dit, T doit être tel que :   2T est entier, (15T)/4 est entier et (18T)/5 est entier.

Pour trouver le plus petit T positif qui satisfait ces conditions, on peut « raisonner sur les dénominateurs » :   – Dans (15T)/4, le dénominateur 4 impose que T soit un multiple de 4/15 en quelque sorte ;   – Dans (18T)/5, le dénominateur 5 impose aussi une contrainte sur T. Le moyen le plus rigoureux est de trouver le plus petit T pour lequel les trois quantités deviennent entières.

Une méthode est de poser T = a/20 (car 20 est un multiple commun aux dénominateurs 4 et 5) et d’exiger que :   2a/20 = a/10 soit entier → a doit être un multiple de 10,   (15a/20)/4 = (15a)/(80) = (3a)/16 soit entier → a doit être un multiple de 16,   (18a/20)/5 = (18a)/(100) = (9a)/50 soit entier → a doit être un multiple de 50.

Pour que a respecte ces trois conditions, il faut prendre a au plus petit commun multiple de 10, 16 et 50.

Calculons ce PPCM :   – 10 = 2 × 5
  – 16 = 2⁴
  – 50 = 2 × 5²
Le PPCM est 2⁴ × 5² = 16 × 25 = 400.

Ainsi, avec a = 400, le temps T est :   T = 400/20 = 20 heures

Vérifions rapidement :   • Claire effectuera 2T = 2 × 20 = 40 tours,
  • Julien effectuera (15×20)/4 = 300/4 = 75 tours,
  • Yann effectuera (18×20)/5 = 360/5 = 72 tours.

Les trois nombres sont entiers. On en déduit que la première réunion au point de départ aura lieu après 20 heures.

────────────────────────────── Partie b) – Le lendemain, Yann propose que chacun change de boucle en conservant les mêmes conditions de vitesse et de parcours.

La situation initiale était la suivante :   • Claire roulait sur la boucle de 6 km,   • Julien sur la boucle de 4 km,   • Yann sur la boucle de 5 km.

Supposons que chacun prenne la boucle d’un autre, par exemple en effectuant une permutation circulaire :   – Claire prend la boucle de Julien (4 km),   – Julien prend la boucle de Yann (5 km),   – Yann prend la boucle de Claire (6 km).

Calculons alors le nouveau temps de tour pour chacun :

1. Pour Claire sur la boucle de 4 km :   Temps = distance ÷ vitesse = 4 km ÷ 12 km/h = 4/12 = 1/3 heure   En minutes, 1/3 d’heure = 20 minutes.

2. Pour Julien sur la boucle de 5 km :   Temps = 5 km ÷ 15 km/h = 5/15 = 1/3 heure = 20 minutes.

3. Pour Yann sur la boucle de 6 km :   Temps = 6 km ÷ 18 km/h = 6/18 = 1/3 heure = 20 minutes.

On observe ainsi que, dans ce nouvel agencement, chacun met exactement 20 minutes pour compléter un tour. Par conséquent, après 20 minutes, les trois cyclistes termineront chacun un tour complet et se retrouveront simultanément au point de départ.

────────────────────────────── Conclusion :

1. Dans la configuration initiale, il faut 20 heures pour que Claire, Julien et Yann se retrouvent au point de départ.

2. Lorsqu’ils échangent de parcours, chacun effectue un tour en 1/3 d’heure (20 minutes), de sorte qu’ils se retrouvent tous les 20 minutes.