Exercice 5

Question : Un système d’engrenages comprend deux roues, l’une ayant 15 dents et l’autre 25 dents. Calcule le nombre de tours que chaque roue doit effectuer pour retrouver leur position initiale.

Réponse

La roue à 15 dents effectue 5 tours et celle à 25 dents effectue 3 tours pour retrouver leur position de départ.

Corrigé détaillé

Nous devons déterminer combien de tours complets chaque roue doit effectuer pour que, l’une et l’autre, retrouvent simultanément leur position de départ. Cela revient à trouver le plus petit nombre de dents parcourues pour chacune des deux roues qui soit commun aux deux cas.

Étape 1 : Comprendre le problème
• La première roue possède 15 dents ; un tour complet fait donc parcourir 15 dents.
• La seconde roue possède 25 dents ; un tour complet fait parcourir 25 dents.

Étape 2 : Chercher un nombre commun
Pour que les deux roues reviennent à leur position initiale, le nombre total de dents parcourues par chacune doit être le même.
Ce nombre correspond au plus petit multiple commun (PPCM) de 15 et 25.
Pour calculer le PPCM, nous commençons par décomposer les nombres en facteurs premiers.

• 15 = 3 × 5
• 25 = 5 × 5 = 5²

Le PPCM se calcule en prenant pour chaque facteur premier, la plus grande puissance présente dans l’un ou l’autre des nombres.
• Pour le facteur 3, la plus grande puissance est 3¹.
• Pour le facteur 5, la plus grande puissance est 5².

Ainsi, le PPCM de 15 et 25 est : 3 × 5² = 3 × 25 = 75.
Cela signifie que, lorsque 75 dents auront été parcourues, les deux roues auront complété un nombre entier de tours et reviendront à leur position de départ.

Étape 3 : Calculer le nombre de tours pour chaque roue
• Pour la roue de 15 dents, le nombre de tours effectués est :
  Nombre de tours = 75 ÷ 15 = 5 tours.

• Pour la roue de 25 dents, le nombre de tours effectués est :
  Nombre de tours = 75 ÷ 25 = 3 tours.

Conclusion
Pour que les deux roues retrouvent leur position initiale, la roue avec 15 dents doit effectuer 5 tours et la roue avec 25 dents doit effectuer 3 tours.

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