Question : Un carillon de gare sonne toutes les \(150\) s. Une cloche de l’école sonne toutes les \(90\) s. À 8h00, les deux cloches sonnent en même temps.
Peuvent-elles se déclencher à nouveau ensemble au bout de \(450\) s ? Justifie.
À quelle heure se déclencheront-elles à nouveau en même temps ?
Réponse :
Oui, les deux cloches se déclenchent ensemble après 450 secondes car 450 est un multiple commun de 150 et 90.
Elles sonneront à nouveau ensemble à 8h07 30.
Nous allons résoudre chaque partie de la question étape par étape en expliquant la logique et les opérations mathématiques nécessaires.
Étape 1 : Comprendre le problème
Nous devons déterminer si, après \(450\) secondes, les deux cloches sonneront en même temps à nouveau.
Étape 2 : Calculer le nombre de fois que chaque cloche a sonné en \(450\) secondes
Carillon de gare : \[ \text{Nombre de sonneries} = \frac{450\, \text{secondes}}{150\, \text{secondes/sonnerie}} = 3 \text{ fois} \]
Cloche de l’école : \[ \text{Nombre de sonneries} = \frac{450\, \text{secondes}}{90\, \text{secondes/sonnerie}} = 5 \text{ fois} \]
Étape 3 : Vérifier si les deux cloches sonnent simultanément à \(450\) secondes
Les deux cloches sonneront ensemble si \(450\) secondes est un multiple commun des \(150\) et des \(90\) secondes. Autrement dit, nous devons vérifier si \(450\) est un multiple commun de \(150\) et \(90\).
Étape 4 : Calculer le Plus Petit Commun Multiple (PPCM)
Pour trouver le moment où les deux cloches sonnent ensemble, nous cherchons le PPCM de \(150\) et \(90\).
Décomposition en facteurs premiers : \[ 150 = 2 \times 3 \times 5^2 \] \[ 90 = 2 \times 3^2 \times 5 \]
PPCM : On prend chaque facteur au plus haut degré présent dans les deux nombres. \[ \text{PPCM}(150, 90) = 2 \times 3^2 \times 5^2 = 2 \times 9 \times 25 = 450\, \text{secondes} \]
Étape 5 : Conclusion
Comme \(450\) secondes est le PPCM de \(150\) et \(90\), cela signifie que les deux cloches sonneront à nouveau ensemble exactement après \(450\) secondes.
Réponse à la partie a :
Oui, les deux cloches peuvent se déclencher à nouveau ensemble au bout
de \(450\) secondes, car \(450\) est un multiple commun des
intervalles de sonnerie des deux cloches.
Étape 1 : Comprendre le problème
Nous devons déterminer l’heure exacte à laquelle les deux cloches sonneront ensemble à nouveau après \(8h00\), sachant que cela se produit tous les \(450\) secondes.
Étape 2 : Convertir \(450\) secondes en minutes et secondes
Nous allons convertir \(450\) secondes en minutes pour faciliter le calcul du temps.
\[ 450\, \text{secondes} = 7\, \text{minutes} \,30\, \text{secondes} \] (Car \(450 \div 60 = 7\) minutes et \(30\) secondes restantes)
Étape 3 : Ajouter ce temps à l’heure de départ
L’heure de départ est \(8h00\). Nous ajoutons \(7\) minutes et \(30\) secondes à cette heure.
\[ 8h00 + 7\, \text{minutes} \,30\, \text{secondes} = 8h07\,30\,s \]
Étape 4 : Vérifier la périodicité
Comme les cloches sonnent ensemble tous les \(450\) secondes, la prochaine sonnerie commune après \(8h00\) sera à \(8h07\,30\).
Réponse à la partie b :
Les deux cloches se déclencheront à nouveau ensemble à \(8h07\,30\).