Question : Voici la décomposition en facteurs premiers de deux nombres \(a\) et \(b\) :
\[ \begin{aligned} a &= 2^{3} \cdot 5 \\ b &= 3 \cdot 2^{4} \cdot 5^{2} \end{aligned} \]
Répondez aux questions suivantes :
\(b\) est-il un multiple de \(a\) ?
En écrivant les dix premiers multiples de 40 et de 60, trouve leur plus petit multiple commun.
Calcule la différence \(\frac{5}{40} - \frac{-2}{60}\).
Oui, \(b\) est un multiple de \(a\).
Le plus petit multiple commun de 40 et 60 est 120.
La différence \(\frac{5}{40} - \frac{-2}{60}\) est \(\frac{19}{120}\).
Nous allons répondre aux questions a, b et c en suivant une démarche étape par étape pour bien comprendre les notions impliquées.
Étape 1 : Comprendre les définitions
Un nombre \(b\) est multiple de \(a\) si \(a\) divise \(b\) sans reste. En termes de décomposition en facteurs premiers, cela signifie que pour chaque facteur premier de \(a\), l’exposant dans \(b\) doit être au moins égal à celui dans \(a\).
Étape 2 : Analyser les décompositions en facteurs premiers
Les décompositions données sont : \[ \begin{aligned} a &= 2^{3} \cdot 5 \\ b &= 3 \cdot 2^{4} \cdot 5^{2} \end{aligned} \]
Étape 3 : Comparer les exposants des facteurs premiers
Étape 4 : Conclusion
Comme pour chaque facteur premier de \(a\), l’exposant dans \(b\) est égal ou supérieur, \(b\) est bien un multiple de \(a\).
Réponse : Oui, \(b\) est un multiple de \(a\).
Étape 1 : Comprendre les définitions
Le plus petit multiple commun (PPCM) de deux nombres est le plus petit nombre qui est multiple des deux nombres.
Étape 2 : Calcul des multiples
Commençons par écrire les dix premiers multiples de 40 et de 60.
Multiples de 40 : \[ 40 \times 1 = 40 \\ 40 \times 2 = 80 \\ 40 \times 3 = 120 \\ 40 \times 4 = 160 \\ 40 \times 5 = 200 \\ 40 \times 6 = 240 \\ 40 \times 7 = 280 \\ 40 \times 8 = 320 \\ 40 \times 9 = 360 \\ 40 \times 10 = 400 \\ \]
Multiples de 60 : \[ 60 \times 1 = 60 \\ 60 \times 2 = 120 \\ 60 \times 3 = 180 \\ 60 \times 4 = 240 \\ 60 \times 5 = 300 \\ 60 \times 6 = 360 \\ 60 \times 7 = 420 \\ 60 \times 8 = 480 \\ 60 \times 9 = 540 \\ 60 \times 10 = 600 \\ \]
Étape 3 : Identifier le plus petit multiple commun
En examinant les multiples listés, nous cherchons le plus petit nombre qui apparaît dans les deux listes.
Le plus petit de ces nombres est 120.
Réponse : Le plus petit multiple commun de 40 et 60 est 120.
Étape 1 : Simplifier les fractions
Simplifions d’abord les fractions données.
\(\frac{5}{40}\) peut être simplifié en divisant le numérateur et le dénominateur par 5 : \[ \frac{5}{40} = \frac{1}{8} \]
\(\frac{-2}{60}\) peut être simplifié en divisant le numérateur et le dénominateur par 2 : \[ \frac{-2}{60} = \frac{-1}{30} \]
Étape 2 : Appliquer la différence
La différence devient : \[ \frac{1}{8} - \frac{-1}{30} = \frac{1}{8} + \frac{1}{30} \]
Étape 3 : Trouver un dénominateur commun
Pour additionner les fractions, nous devons trouver un dénominateur commun. Les dénominateurs sont 8 et 30. Le PPCM de 8 et 30 est 120.
Étape 4 : Convertir les fractions
Convertissons chaque fraction pour qu’elles aient le même dénominateur (120) :
\(\frac{1}{8} = \frac{1 \times 15}{8 \times 15} = \frac{15}{120}\)
\(\frac{1}{30} = \frac{1 \times 4}{30 \times 4} = \frac{4}{120}\)
Étape 5 : Effectuer l’addition
Additionnons les deux fractions : \[ \frac{15}{120} + \frac{4}{120} = \frac{19}{120} \]
Étape 6 : Résultat final
La différence est donc : \[ \frac{19}{120} \]
Réponse : La différence \(\frac{5}{40} - \frac{-2}{60}\) est \(\frac{19}{120}\).
Oui, \(b\) est un multiple de \(a\).
Le plus petit multiple commun de 40 et 60 est 120.
La différence \(\frac{5}{40} - \frac{-2}{60}\) est \(\frac{19}{120}\).