Au camp de ski, si on forme des groupes de \(8\) élèves, il reste \(3\) élèves. Si on forme des groupes de \(11\), il reste \(7\) élèves. Le nombre de groupes de \(8\) élèves est supérieur de \(2\) au nombre de groupes de \(11\) élèves. Trouver le nombre d’élèves participant à ce camp de ski.
Le nombre d’élèves participant au camp de ski est 51.
Pour résoudre ce problème, nous allons définir des variables, établir des équations basées sur les informations fournies, et les résoudre étape par étape.
Formation de groupes de 8 élèves :
Lorsque les élèves sont regroupés en groupes de 8, il reste 3 élèves. Cela peut être exprimé par l’équation suivante : \[ n = 8g_8 + 3 \]
Formation de groupes de 11 élèves :
Lorsque les élèves sont regroupés en groupes de 11, il reste 7 élèves. Cela se traduit par : \[ n = 11g_{11} + 7 \]
Relation entre le nombre de groupes :
Le nombre de groupes de 8 est supérieur de 2 au nombre de groupes de 11. Ainsi : \[ g_8 = g_{11} + 2 \]
Nous avons donc un système de trois équations : \[ \begin{cases} n = 8g_8 + 3 \quad (1) \\ n = 11g_{11} + 7 \quad (2) \\ g_8 = g_{11} + 2 \quad (3) \\ \end{cases} \]
a. Exprimer \(g_8\) en fonction de \(g_{11}\) :
D’après l’équation (3) : \[ g_8 = g_{11} + 2 \]
b. Remplacer \(g_8\) dans l’équation (1) : \[ n = 8(g_{11} + 2) + 3 = 8g_{11} + 16 + 3 = 8g_{11} + 19 \]
c. Égaliser les deux expressions de \(n\) : \[ 8g_{11} + 19 = 11g_{11} + 7 \]
d. Résoudre pour \(g_{11}\) : \[ 8g_{11} + 19 = 11g_{11} + 7 \\ 19 - 7 = 11g_{11} - 8g_{11} \\ 12 = 3g_{11} \\ g_{11} = \frac{12}{3} = 4 \]
e. Trouver \(g_8\) : \[ g_8 = g_{11} + 2 = 4 + 2 = 6 \]
f. Calculer le nombre total d’élèves \(n\) :
Utilisons l’équation (1) : \[ n = 8g_8 + 3 = 8 \times 6 + 3 = 48 + 3 = 51 \]
Le nombre d’élèves participant au camp de ski est \(\boxed{51}\).