Exercices corrigés - PPMC et PGDC (avec problèmes) - 11e

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Exercice 1

Difficulté : 50/100

Au camp de ski, si on forme des groupes de \(8\) élèves, il reste \(3\) élèves. Si on forme des groupes de \(11\), il reste \(7\) élèves. Le nombre de groupes de \(8\) élèves est supérieur de \(2\) au nombre de groupes de \(11\) élèves. Trouver le nombre d’élèves participant à ce camp de ski.

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Exercice 2

Difficulté : 40/100

Question : Voici la décomposition en facteurs premiers de deux nombres \(a\) et \(b\) :

\[ \begin{aligned} a &= 2^{3} \cdot 5 \\ b &= 3 \cdot 2^{4} \cdot 5^{2} \end{aligned} \]

Répondez aux questions suivantes :

1. \(b\) est-il un multiple de \(a\) ?

2. En écrivant les dix premiers multiples de 40 et de 60, trouve leur plus petit multiple commun.

3. Calcule la différence \(\frac{5}{40} - \frac{-2}{60}\).

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Exercice 3

Difficulté : 20/100

Question : Dans un parc d’attractions, un manège de type carrousel a deux chevaux. Le cheval bleu fait un tour complet toutes les 18 s et le cheval rouge toutes les 24 s. Ils partent en même temps du point de départ. Après combien de temps repasseront-ils de nouveau par ce point en même temps ?

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Exercice 4

Difficulté : 20/100

Question : Un carillon de gare sonne toutes les \(150\) s. Une cloche de l’église sonne toutes les \(90\) s. À 8h00, les deux cloches sonnent en même temps.

1. Peuvent-elles se déclencher à nouveau ensemble au bout de \(450\) s ? Justifie.

2. À quelle heure se déclencheront-elles à nouveau en même temps ?

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Exercice 5

Difficulté : 35/100

Question : Un système d’engrenages comprend deux roues, l’une ayant 15 dents et l’autre 25 dents. Calcule le nombre de tours que chaque roue doit effectuer pour retrouver leur position initiale.

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Exercice 6

Difficulté : 45/100

Question : On donne \(c = 2^{5} \cdot 11\) et \(d = 2^{3} \cdot 11^{2}\). Quel est le plus grand commun diviseur de \(c\) et \(d\) ?

1. \(\frac{352}{176}\)

2. \(\frac{88}{44}\)

3. \(\frac{176}{88}\)

4. \(\frac{44}{22}\)

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Exercice 7

Difficulté : 40/100

Question :

1. Claire, Julien et Théo partent ensemble du même point de départ de trois parcours de vélo situés dans le même parc :

• Claire roule à une vitesse moyenne de \(12\,\mathrm{km/h}\) sur le chemin des Lilas, une boucle de 6 km ;
• Julien roule à une vitesse moyenne de \(15\,\mathrm{km/h}\) sur le chemin des Érables, une boucle de 4 km ;
• Théo roule à une vitesse moyenne de \(18\,\mathrm{km/h}\) sur le chemin des Bouleaux, une boucle de 5 km.

Théo propose que chacun continue de rouler sur son propre parcours jusqu’à ce que les trois se retrouvent ensemble au point de départ.

Après combien de temps se réuniront-ils au point de départ ?

2. Le lendemain, Théo suggère que chacun échange de boucle tout en maintenant les mêmes modalités de vélo.

Qu’observes-tu ?

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Exercice 8

Difficulté : 40/100

Exercice

Donne un nombre compris entre 25 et 55 qui vérifie les conditions suivantes :

1. Il est divisible par 4 et par 7.

2. Il est divisible par 5 et par 6.

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Exercice 9

Difficulté : 20/100

Question : La fraction \(\frac{156}{275}\) est-elle irréductible ? Justifie.

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Exercice 10

Difficulté : 40/100

Question :

1. Écris \(630\) et \(750\) sous forme de produits de facteurs premiers.

2. Rends alors la fraction \(\frac{630}{750}\) irréductible.

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Exercice 11

Difficulté : 25/100

Question : Détermine les nombres suivants :

1. \(\operatorname{ppmc}(14,\ 28)\)

2. \(\operatorname{ppmc}(45,\ 60)\)

3. \(\operatorname{pgdc}(54,\ 90)\)

4. \(\operatorname{pgdc}(36,\ 84)\)

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