Un trapèze isocèle et un triangle isocèle ont chacun une aire de \(135\,\text{cm}^{2}\). Calculer la différence de leurs périmètres, sachant que la base du triangle mesure 18 cm et que les bases du trapèze mesurent 18 cm et 27 cm.
La différence entre les périmètres est 6(7 – √34) cm, soit environ 7,02 cm.
Nous allons trouver, pas à pas, la différence entre le périmètre d’un trapèze isocèle et celui d’un triangle isocèle, sachant que leurs aires sont égales à 135 cm² et que l’on connaît certaines dimensions de ces figures.
───────────────────────────── 1 – Calcul du périmètre du triangle isocèle
Le triangle isocèle a pour base 18 cm et une aire égale à 135
cm².
• Pour un triangle, l’aire se calcule avec la formule :
A = (base × hauteur) / 2
On connaît A = 135 cm² et la base b = 18 cm.
Ainsi, on a :
135 = (18 × h) / 2
Pour trouver la hauteur h, on résout l’équation :
h = (135 × 2) / 18
= 270 / 18
= 15 cm
Maintenant, dans un triangle isocèle, les deux côtés égaux (les
jambes) peuvent être calculés en utilisant le théorème de Pythagore
appliqué à la moitié de la base et à la hauteur.
• La moitié de la base est : 18/2 = 9 cm
• On a donc, pour une jambe :
c = √(9² + 15²)
= √(81 + 225)
= √306
Notons que 306 se décompose en 9 × 34, donc :
√306 = √(9×34) = 3√34
Le périmètre P_triangle du triangle est la somme de la base et des
deux côtés égaux :
P_triangle = 18 + 2 × (3√34)
= 18 + 6√34
───────────────────────────── 2 – Calcul du périmètre du trapèze isocèle
Le trapèze isocèle a pour bases 18 cm et 27 cm et une aire de 135
cm².
• L’aire d’un trapèze se calcule avec :
A = [(base₁ + base₂) / 2] × h
On a :
135 = [(18 + 27) / 2] × h
135 = (45 / 2) × h
Pour trouver la hauteur h, on résout :
h = (135 × 2) / 45
= 270 / 45
= 6 cm
Pour trouver la longueur d’une jambe (côté non parallèle), on
considère le triangle rectangle formé par la hauteur et la moitié de la
différence des bases.
• La différence entre les bases est : 27 – 18 = 9 cm
• La demi-différence est : 9/2 = 4,5 cm
La longueur d’une jambe s’obtient avec le théorème de Pythagore
:
c = √(h² + (4,5)²)
= √(6² + 4,5²)
= √(36 + 20,25)
= √56,25
= 7,5 cm
Le périmètre P_trapèze du trapèze est la somme des deux bases et des
deux côtés égaux :
P_trapèze = 18 + 27 + 2 × 7,5
= 45 + 15
= 60 cm
───────────────────────────── 3 – Calcul de la différence des périmètres
Nous avons :
P_triangle = 18 + 6√34
P_trapèze = 60
La différence (en supposant que l’on veut savoir de combien le
périmètre du trapèze dépasse celui du triangle) est :
Différence = P_trapèze – P_triangle
= 60 – (18 + 6√34)
= (60 – 18) – 6√34
= 42 – 6√34
Il est possible de mettre ce résultat sous forme factorisée en
sortant 6 :
42 – 6√34 = 6(7 – √34) cm
───────────────────────────── Conclusion
La différence entre les périmètres du trapèze isocèle et du triangle
isocèle est de 6(7 – √34) cm.
En valeur approchée, en sachant que √34 ≈ 5,83, on a :
6(7 – 5,83) ≈ 6 × 1,17 ≈ 7,02 cm.
Ainsi, la différence de périmètres est exactement 6(7 – √34) cm, soit environ 7,02 cm.