Question :
Soit un carré dont chaque côté mesure \(x + 2\). Donne en fonction de \(x\) le périmètre du carré.
Soit un rectangle de largeur \(\frac{x + 4}{2}\) et de longueur \(x + 3\). Donne en fonction de \(x\) le périmètre du rectangle en simplifiant l’expression.
Pour quelle valeur de \(x\) le rectangle et le carré ont-ils le même périmètre ?
Le périmètre du carré est \(4x + 8\) et celui du rectangle est \(3x + 10\). Ils sont égaux lorsque \(x = 2\).
Énoncé : Soit un carré dont chaque côté mesure \(x + 2\). Donne en fonction de \(x\) le périmètre du carré.
Solution :
Un carré a quatre côtés de même longueur. Pour trouver le périmètre \(P\) du carré, il suffit d’additionner les longueurs de ses quatre côtés.
Longueur d’un côté du carré : \[ x + 2 \]
Calcul du périmètre : \[ P = 4 \times (\text{longueur d’un côté}) = 4 \times (x + 2) \]
Développons l’expression : \[ P = 4x + 8 \]
Réponse : Le périmètre du carré en fonction de \(x\) est \(P = 4x + 8\).
Énoncé : Soit un rectangle de largeur \(\frac{x + 4}{2}\) et de longueur \(x + 3\). Donne en fonction de \(x\) le périmètre du rectangle en simplifiant l’expression.
Solution :
Un rectangle a deux fois la longueur et deux fois la largeur. Le périmètre \(P\) se calcule donc en doublant la somme de la longueur \(L\) et de la largeur \(l\).
Longueur et largeur du rectangle : \[ L = x + 3 \quad \text{et} \quad l = \frac{x + 4}{2} \]
Formule du périmètre : \[ P = 2 \times (L + l) = 2 \times \left( (x + 3) + \frac{x + 4}{2} \right) \]
Addition des termes à l’intérieur des parenthèses : \[ (x + 3) + \frac{x + 4}{2} = \frac{2(x + 3)}{2} + \frac{x + 4}{2} = \frac{2x + 6 + x + 4}{2} = \frac{3x + 10}{2} \]
Calcul du périmètre : \[ P = 2 \times \frac{3x + 10}{2} = 3x + 10 \]
Réponse : Le périmètre du rectangle en fonction de \(x\) est \(P = 3x + 10\).
Énoncé : Pour quelle valeur de \(x\) le rectangle et le carré ont-ils le même périmètre ?
Solution :
Nous avons déjà exprimé les deux périmètres en fonction de \(x\) :
Pour que les périmètres soient égaux, nous écrivons l’équation :
\[ 4x + 8 = 3x + 10 \]
Résolvons cette équation :
Soustraire \(3x\) des deux côtés : \[ 4x - 3x + 8 = 10 \implies x + 8 = 10 \]
Soustraire 8 des deux côtés : \[ x + 8 - 8 = 10 - 8 \implies x = 2 \]
Vérification :
Calculons les périmètres pour \(x = 2\) :
Périmètre du carré : \[ P_{\text{carré}} = 4(2) + 8 = 8 + 8 = 16 \]
Périmètre du rectangle : \[ P_{\text{rectangle}} = 3(2) + 10 = 6 + 10 = 16 \]
Les deux périmètres sont bien égaux à 16.
Réponse : La valeur de \(x\) pour laquelle le rectangle et le carré ont le même périmètre est \(x = 2\).