Exercice 97

La longueur d’un rectangle dépasse sa largeur de 7 dm. Son périmètre est compris entre 20 dm et 26 dm. Que peut-on dire au sujet de sa largeur ?

Réponse

La largeur du rectangle est comprise entre 1,5 dm et 3 dm.

Corrigé détaillé

Pour résoudre ce problème, nous devons déterminer les valeurs possibles de la largeur \(l\) du rectangle en utilisant les informations fournies.

Énoncé du problème

1. Relation entre la longueur et la largeur : La longueur \(L\) du rectangle dépasse sa largeur \(l\) de 7 dm. \[ L = l + 7 \]

2. Périmètre du rectangle : Le périmètre \(P\) est compris entre 20 dm et 26 dm. \[ 20 < P < 26 \]

Étapes de résolution

1. Formule du périmètre d’un rectangle : Le périmètre d’un rectangle est donné par : \[ P = 2L + 2l \] En remplaçant \(L\) par \(l + 7\), nous obtenons : \[ P = 2(l + 7) + 2l = 2l + 14 + 2l = 4l + 14 \]

2. Établir les inégalités en fonction du périmètre : Puisque le périmètre est entre 20 dm et 26 dm, nous avons : \[ 20 < 4l + 14 < 26 \]

3. Résoudre l’inégalité : Soustrayons 14 des trois parties de l’inégalité pour isoler le terme avec \(l\) : \[ 20 - 14 < 4l + 14 - 14 < 26 - 14 \] \[ 6 < 4l < 12 \]

   Ensuite, divisons chaque partie par 4 pour trouver \(l\) : \[ \frac{6}{4} < l < \frac{12}{4} \] \[ 1.5 < l < 3 \]

Conclusion

La largeur \(l\) du rectangle doit être supérieure à 1,5 dm et inférieure à 3 dm. En d’autres termes, la largeur est comprise entre 1,5 dm et 3 dm.

\[ 1.5\ \text{dm} < l < 3\ \text{dm} \]