Exercice 96

Un angle au centre de \(135^{\circ}\) intercepte un secteur d’une aire de \(40,5\,\mathrm{cm}^{2}\). Quel est le rayon du disque ?

Réponse

Le rayon du disque est exactement r = (6√3)/√π cm, soit environ 5,9 cm.

Corrigé détaillé

Nous savons que l’aire d’un secteur circulaire se calcule à l’aide de la formule suivante :

  Aire du secteur = (θ/360) × π × r²

où θ est l’angle du secteur en degrés et r est le rayon du disque.

1. Dans notre exercice, l’angle est θ = 135° et l’aire du secteur est donnée A = 40,5 cm². On a donc :

  (135/360) × π × r² = 40,5

2. Simplifions le coefficient (135/360). Divisons numérateur et dénominateur par 45 :

  135 ÷ 45 = 3  et  360 ÷ 45 = 8

  On obtient donc :

  (3/8) × π × r² = 40,5

3. Pour isoler r², multiplions les deux côtés de l’équation par (8/3π) :

  r² = 40,5 × (8/(3π))

4. Simplifions la multiplication en calculant 40,5 ÷ 3 :

  40,5 ÷ 3 = 13,5

  On a alors :

  r² = 13,5 × (8/π) = (13,5 × 8)/π = 108/π

5. Pour obtenir le rayon r, prenons la racine carrée des deux côtés :

  r = √(108/π)

6. On peut simplifier la racine en remarquant que 108 = 36 × 3. Ainsi, √108 = √36 × √3 = 6√3. Le rayon s’écrit alors :

  r = (6√3)/√π

Si l’on souhaite connaître une valeur approchée, on peut remplacer π par environ 3,14 :

  r ≈ √(108/3,14) ≈ √34,39 ≈ 5,86 cm

Conclusion :

Le rayon du disque est exactement r = (6√3)/√π cm, ce qui correspond à environ 5,9 cm.