Question :
Si l’on tendait une ficelle autour d’un lampadaire, le long de sa base et à une hauteur de 1 mètre, de combien sa longueur dépasserait-elle celle du tour de base du lampadaire ?
Et si l’on tendait une ficelle à une distance de 1 mètre autour d’un ballon de basketball ?
Dans les deux cas, la ficelle dépasse la circonférence initiale de 6,28 mètres.
Énoncé : Si l’on tendait une ficelle autour d’un lampadaire, le long de sa base et à une hauteur de 1 mètre, de combien sa longueur dépasserait-elle celle du tour de base du lampadaire ?
Correction :
Pour déterminer de combien la longueur de la ficelle tendue à 1 mètre au-dessus de la base dépasse celle du tour de base du lampadaire, nous devons comparer les circonférences à deux différentes hauteurs.
Comprendre la circonférence : La circonférence \(C\) d’un cercle est donnée par la formule : \[ C = 2\pi R \] où \(R\) est le rayon du cercle.
Circonférence au niveau de la base : Supposons que le rayon de la base du lampadaire est \(R\). \[ C_{\text{base}} = 2\pi R \]
Circonférence à 1 mètre au-dessus de la base : À une hauteur de 1 mètre, le rayon devient \(R + 1\) mètre. \[ C_{\text{1 m}} = 2\pi (R + 1) = 2\pi R + 2\pi \]
Calcul de la différence de longueur : La longueur supplémentaire que la ficelle aura par rapport à la circonférence de la base est la différence entre les deux circonférences : \[ \Delta C = C_{\text{1 m}} - C_{\text{base}} = (2\pi R + 2\pi) - 2\pi R = 2\pi \]
Interprétation numérique : En utilisant \(\pi \approx 3,14\) : \[ \Delta C = 2 \times 3,14 = 6,28 \text{ mètres} \]
Conclusion : La ficelle tendue à 1 mètre au-dessus de la base du lampadaire dépasse la circonférence de la base de 6,28 mètres.
Énoncé : Et si l’on tendait une ficelle à une distance de 1 mètre autour d’un ballon de basketball ?
Correction :
Le raisonnement pour cette question est similaire à celui de la question a). Nous devons déterminer combien la longueur de la ficelle dépassera celle du tour du ballon lorsque la ficelle est tendue à 1 mètre au-dessus du ballon.
Comprendre la circonférence : La circonférence \(C\) d’un cercle est donnée par : \[ C = 2\pi R \] où \(R\) est le rayon du cercle.
Circonférence du ballon : Supposons que le rayon du ballon de basketball est \(R\). \[ C_{\text{ballon}} = 2\pi R \]
Circonférence à 1 mètre au-dessus du ballon : À une distance de 1 mètre au-dessus du ballon, le rayon devient \(R + 1\) mètre. \[ C_{\text{1 m}} = 2\pi (R + 1) = 2\pi R + 2\pi \]
Calcul de la différence de longueur : La longueur supplémentaire de la ficelle est la différence entre les deux circonférences : \[ \Delta C = C_{\text{1 m}} - C_{\text{ballon}} = (2\pi R + 2\pi) - 2\pi R = 2\pi \]
Interprétation numérique : En utilisant \(\pi \approx 3,14\) : \[ \Delta C = 2 \times 3,14 = 6,28 \text{ mètres} \]
Conclusion : La ficelle tendue à une distance de 1 mètre autour du ballon de basketball dépasse la circonférence du ballon de 6,28 mètres.
Dans les deux cas, que ce soit pour le lampadaire ou le ballon de basketball, lorsque l’on tend une ficelle à 1 mètre au-dessus ou autour, la longueur additionnelle de la ficelle par rapport à la circonférence initiale est toujours \(2\pi\) mètres, soit environ 6,28 mètres.