Trace un cercle de centre \(O\) et de diamètre \(BF\).
Prolonge le diamètre \(BF\) et place un point \(C\) tel que \(FC = \frac{1}{2} OF\).
Construis le carré \(BCDG\).
Le carré \(BCDG\) et le disque de centre \(O\) ont-ils la même aire ?
Non, le carré a une aire de 25r²/4, ce qui est supérieur à πr² puisque 25/4 (6,25) est plus grand que π (≈3,14).
Nous allons résoudre la question étape par étape en utilisant une lettre « r » pour représenter le rayon du cercle (c’est-à-dire la distance de O à B ou O à F).
────────────────────────────── 1. Construction et mesure du rayon
On a tracé un cercle de centre O et de diamètre BF.
— Le diamètre BF a pour longueur 2r, puisque le rayon r = OB = OF.
────────────────────────────── 2. Position du point C
On prolonge BF pour placer le point C tel que
FC = (1/2) · OF = (1/2) · r.
────────────────────────────── 3. Construction du carré BCDG et calcul de la longueur de son côté BC
Le carré BCDG est construit en utilisant le segment BC comme
côté.
Pour trouver la longueur BC, on remarque que BC se compose de deux
segments :
• De B à F, qui mesure le diamètre BF = 2r
• De F à C, qui mesure FC = r/2
Donc,
BC = BF + FC = 2r + (r/2).
Pour additionner, on écrit 2r sous forme de fraction avec le même
dénominateur :
2r = (4r)/2 donc BC = (4r)/2 + (r)/2 = (5r)/2.
────────────────────────────── 4. Calcul des aires du disque et du carré
• Aire du disque (cercle de centre O)
La formule de l’aire d’un cercle est :
A_disque = π · (rayon)² = π · r².
• Aire du carré BCDG
La formule de l’aire d’un carré est : (côté)².
Ici, le côté du carré vaut (5r)/2, donc :
A_carré = [(5r)/2]² = 25r²/4.
────────────────────────────── 5. Comparaison des aires
Pour savoir si les deux aires sont égales, on compare A_disque et A_carré :
A_disque = π · r² et A_carré = (25/4) · r².
La condition pour que les aires soient égales serait :
π = 25/4.
Or, 25/4 = 6,25 et π est environ 3,14.
Cela montre que :
6,25 · r² > 3,14 · r².
────────────────────────────── Conclusion
Les deux aires ne sont pas égales. En effet, l’aire du carré
est
A_carré = 25r²/4 et l’aire du disque est A_disque = π·r²,
et comme 25/4 (soit 6,25) est supérieure à π (environ 3,14), le carré
BCDG a une aire plus grande que le disque de centre O.
────────────────────────────── Réponse finale : Non, le carré BCDG et le disque de centre O n’ont pas la même aire, car l’aire du carré est plus grande.