Nouvelle Exercice :
Question : Un trapèze a une aire de \(84\ \mathrm{cm}^2\) et une hauteur de 12 cm. La longueur de l’une des bases est le triple de celle de l’autre. Quelles sont les longueurs des bases ?
Les longueurs des bases du trapèze sont de 3,5 cm et 10,5 cm.
Pour déterminer les longueurs des bases d’un trapèze dont l’aire est de \(84\ \mathrm{cm}^2\) et la hauteur est de \(12\ \mathrm{cm}\), avec une base étant le triple de l’autre, suivons les étapes suivantes :
L’aire \(A\) d’un trapèze se calcule à l’aide de la formule :
\[ A = \frac{(b_1 + b_2) \times h}{2} \]
où : - \(b_1\) et \(b_2\) sont les longueurs des deux bases, - \(h\) est la hauteur du trapèze.
Posons : - \(x\) la longueur de la base la plus courte. - \(3x\) la longueur de l’autre base (puisqu’elle est le triple de la première).
En remplaçant les valeurs connues dans la formule de l’aire :
\[ 84 = \frac{(x + 3x) \times 12}{2} \]
Simplifions l’équation étape par étape :
\[ \begin{align*} 84 &= \frac{(4x) \times 12}{2} \\ 84 &= \frac{48x}{2} \\ 84 &= 24x \end{align*} \]
Pour trouver la valeur de \(x\), divisons les deux côtés de l’équation par 24 :
\[ x = \frac{84}{24} = 3,5\ \mathrm{cm} \]
Maintenant que nous connaissons la valeur de \(x\), calculons la longueur de chaque base :
Base la plus courte (\(b_1\)) :
\[
b_1 = x = 3,5\ \mathrm{cm}
\]
Base la plus longue (\(b_2\)) :
\[
b_2 = 3x = 3 \times 3,5 = 10,5\ \mathrm{cm}
\]
Les longueurs des bases du trapèze sont donc de 3,5 cm et 10,5 cm.