Question : On considère un rectangle \(EFGH\) tel que \(EF = 20\ \text{cm}\) et \(EH = 8\ \text{cm}\). Un point \(N\) est placé sur le segment \(FG\).
Exprime l’aire de \(ENGH\) en fonction de \(NG\).
On pose \(NG = x\). Donne un encadrement des valeurs de \(x\) possibles, puis indique une expression de la fonction \(f\) qui, à \(x\), associe l’aire de \(ENGH\).
Calcule l’aire du trapèze \(ENGH\) si \(NG = 5\ \text{cm}\) en utilisant la fonction \(f\).
L’aire du trapèze ENGH est : Aire = 10(NG + 8).
En posant NG = x avec 0 ≤ x ≤ 8, la fonction associée est f(x) = 10x + 80.
Pour NG = 5 cm, l’aire est f(5) = 130 cm².
Nous avons un rectangle EFGH de côtés EF = 20 cm et EH = 8 cm. Pour mieux comprendre la situation, on peut placer les points dans un repère :
• On place E à (0, 0).
• F se trouve à (20, 0) (puisque EF = 20 cm).
• G se place à (20, 8) (puisque FG = EH = 8 cm dans un rectangle).
• H se trouve à (0, 8).
Le point N est situé sur le segment FG, qui va de F (20, 0) à G (20, 8). On définit NG comme la distance entre N et G le long de FG. Notons que, selon le placement, NG peut varier entre 0 et 8 cm.
La figure étudiée est le quadrilatère E – N – G – H. On remarque que les segments NG et EH sont tous deux verticaux, donc ils sont parallèles. C’est pourquoi ce quadrilatère est un trapèze dont les bases parallèles sont :
• EH de longueur 8 cm (de (0,0) à (0,8)).
• NG de longueur NG (la donnée variable).
La distance entre ces deux côtés parallèles correspond à la longueur horizontale qui est EF = 20 cm. Nous allons utiliser la formule de l’aire d’un trapèze, qui est :
Aire = (1/2) × (sommes des longueurs des bases) × (la hauteur).
| Question a) |
|---|
| Question b) |
| On pose NG = x. |
| 1. Encadrement de x : |
| Le segment FG mesure 8 cm. Puisque N se trouve sur ce segment, la distance NG varie de 0 cm (si N coïncide avec G) à 8 cm (si N coïncide avec F). Ainsi : 0 ≤ x ≤ 8. |
| 2. Expression de la fonction f associant à x l’aire du trapèze ENGH : |
| En remplaçant NG par x dans l’expression trouvée précédemment, on obtient : |
| f(x) = 10 × (x + 8) = 10x + 80. |
Question c)
On demande de calculer l’aire de ENGH lorsque NG = 5 cm, c’est-à-dire x = 5.
En utilisant la fonction f(x) :
f(5) = 10 × (5 + 8)
= 10 × 13
= 130.
L’aire du trapèze ENGH lorsque NG = 5 cm est donc de 130 cm².
Récapitulatif :
Cette démarche pas à pas permet de comprendre comment exprimer l’aire en fonction d’une variable, déterminer le domaine possible pour cette variable et enfin calculer une valeur numérique de l’aire.