Exprimer à l’aide d’un polynôme :
Nous allons traiter chaque question en expliquant la démarche étape par étape.
────────────────────────────── 1) Périmètre d’un rectangle de dimensions a et b
Un rectangle possède 2 côtés de longueur a et 2 côtés de longueur
b.
• Pour trouver le périmètre, il faut additionner la longueur des 4
côtés.
• On écrit donc : P = a + b + a + b.
En regroupant les termes semblables, on obtient :
P = 2a + 2b
Ou, en factorisant 2 :
P = 2(a + b).
────────────────────────────── 2) Aire totale des faces d’un parallélépipède rectangle de dimensions x, y et z
Un parallélépipède rectangle possède 6 faces. Les faces opposées sont
deux à deux identiques.
Les trois paires de faces sont :
• Deux faces de dimensions x et y dont l’aire est xy chacune.
• Deux faces de dimensions x et z dont l’aire est xz chacune.
• Deux faces de dimensions y et z dont l’aire est yz chacune.
Pour calculer l’aire totale, on additionne les aires de toutes ces
faces :
Aire totale = 2(xy) + 2(xz) + 2(yz).
On peut aussi écrire :
Aire totale = 2(xy + xz + yz).
────────────────────────────── 3) Périmètre d’un trapèze rectangle de bases a et b, de hauteur h et de côté oblique de longueur l
Un trapèze rectangle a deux côtés parallèles (les bases) et deux
côtés non parallèles.
• Les deux bases mesurent a et b.
• Un des côtés perpendiculaires aux bases mesure h (la hauteur).
• Le dernier côté (côté oblique) a pour longueur l.
Pour trouver le périmètre, on additionne la longueur de tous les
côtés :
P = a + b + h + l.
────────────────────────────── 4) Somme des aires de deux disques, l’un de rayon a, l’autre de rayon b
L’aire d’un disque est donnée par la formule :
Aire = π × (rayon)².
Pour le disque de rayon a :
Aire₁ = πa².
Pour le disque de rayon b :
Aire₂ = πb².
La somme des aires des deux disques est donc :
Aire_total = πa² + πb².
On peut aussi factoriser π et obtenir :
Aire_total = π(a² + b²).
────────────────────────────── 5) Somme des aires de trois carrés de côtés respectifs x, y et z
L’aire d’un carré se calcule en élevant la longueur de son côté au
carré.
• Pour le carré de côté x : Aire = x².
• Pour le carré de côté y : Aire = y².
• Pour le carré de côté z : Aire = z².
La somme des aires est simplement la somme de ces trois aires :
Aire_total = x² + y² + z².
────────────────────────────── 6) Aire de la couronne comprise entre deux cercles concentriques de rayons x et y (avec y > x)
L’aire d’un cercle est donnée par :
Aire = π × (rayon)².
On a deux cercles concentriques c’est-à-dire qu’ils ont le même
centre.
• L’aire du grand cercle (rayon y) est : Aire_grand = πy².
• L’aire du petit cercle (rayon x) est : Aire_petit = πx².
La couronne est la région qui se trouve entre le grand cercle et le
petit cercle. Pour obtenir son aire, il faut soustraire l’aire du petit
cercle de celle du grand cercle :
Aire_couronne = πy² – πx².
En factorisant π, on obtient :
Aire_couronne = π(y² – x²).
────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :
Cette démarche permet de comprendre étape par étape comment exprimer chaque mesure géométrique sous forme d’un polynôme ou d’une expression algébrique.