Question : L’aire d’un rectangle est de \(90\,\mathrm{cm}^2\) et son périmètre est de \(50\,\mathrm{cm}\). Quelles sont ses dimensions ?
Les dimensions du rectangle sont (25 + √265) ÷ 2 ≈ 20,64 cm et (25 - √265) ÷ 2 ≈ 4,36 cm.
On vous demande de trouver les dimensions d’un rectangle sachant que son aire est de 90 cm² et que son périmètre est de 50 cm. On note la longueur par L et la largeur par l.
Écrire les formules : • L’aire d’un rectangle est donnée par : A = L × l = 90. • Le périmètre d’un rectangle est : P = 2(L + l) = 50, ce qui donne L + l = 25.
Exprimer L en fonction de l (ou l en fonction de L) à partir de L + l = 25 : • Par exemple, L = 25 − l.
Remplacer dans l’équation de l’aire : • (25 − l) × l = 90.
Écrire l’équation sous forme développée : • 25l − l² = 90 • On peut réorganiser l’équation pour obtenir une équation quadratique : l² − 25l + 90 = 0.
Résoudre l’équation quadratique l² − 25l + 90 = 0 : • Pour cela, on calcule le discriminant Δ : Δ = 25² − 4 × 1 × 90 = 625 − 360 = 265. • Les solutions de l’équation sont alors données par : l = [25 ± √265] / 2.
Interpréter le résultat : • Il y a deux solutions qui correspondent aux deux dimensions du rectangle. Ainsi, les dimensions sont : l = (25 + √265) / 2 et L = (25 − √265) / 2, ou dans l’autre ordre. En effet, l’un peut représenter la longueur et l’autre la largeur.
Vérifier numériquement (optionnel) : • Valeur approchée de √265 ≈ 16,28. • Alors, l ≈ (25 + 16,28) / 2 ≈ 20,64 cm et L ≈ (25 − 16,28) / 2 ≈ 4,36 cm. • On peut aussi attribuer ces valeurs l’une à la longueur et l’autre à la largeur puisque dans un rectangle, l’ordre n’a pas d’importance.
Conclusion : Les dimensions du rectangle sont (25 + √265) / 2 cm et (25 − √265) / 2 cm, soit environ 20,64 cm et 4,36 cm.