Une piscine rectangulaire contient 720 000 litres d’eau. Sa largeur est la moitié de sa longueur. Elle est entourée d’une allée de 2 m de large dont l’aire est de \(160\, \mathrm{m}^{2}\). Quelles sont les dimensions de la piscine ?
La piscine mesure 24 m de long, 12 m de large et 2,5 m de profondeur.
Nous allons déterminer les dimensions de la piscine à l’aide de deux informations du problème :
• L’allée qui entoure la piscine a une largeur uniforme de 2 m et son aire (la différence entre l’aire du grand rectangle formé par la piscine et l’allée et l’aire de la piscine) est de 160 m².
• La piscine contient 720 000 litres d’eau, ce qui équivaut à 720 m³ (puisque 1 m³ = 1 000 L). Or, la surface de la piscine multipliée par sa profondeur donne ce volume. Le problème est ainsi construit de façon à déterminer la surface horizontale de la piscine et ensuite, en déduire sa profondeur si besoin.
Nous savons aussi que la largeur de la piscine est la moitié de sa longueur. Nous allons procéder étape par étape.
───────────────────────────── 1 – Calcul à partir de l’aire de l’allée
Soit L la longueur de la piscine (en m). Sa largeur vaut alors L/2.
L’aire de la piscine (en m²) est : Aₚ = Longueur × Largeur = L × (L/2) = L²/2.
L’allée entoure la piscine avec une largeur de 2 m tout autour. Les dimensions du grand rectangle (piscine + allée) sont donc : Longueur extérieure = L + 2 + 2 = L + 4, Largeur extérieure = (L/2) + 2 + 2 = (L/2) + 4.
L’aire totale de ce grand rectangle est : Aₜ = (L + 4) × ((L/2) + 4).
L’aire de l’allée est la différence entre l’aire totale et l’aire de la piscine, soit : Aₐ = Aₜ – Aₚ = (L + 4) × ((L/2) + 4) – (L²/2).
D’après l’énoncé, Aₐ = 160 m², ce qui nous donne l’équation : (L + 4) × ((L/2) + 4) – (L²/2) = 160.
Vérifions et simplifions cette équation. Développons d’abord (L + 4)×((L/2) + 4) : (L + 4) × ((L/2) + 4) = L×(L/2 + 4) + 4×(L/2 + 4) = (L²/2 + 4L) + (2L + 16) = L²/2 + (4L + 2L) + 16 = L²/2 + 6L + 16.
En remplaçant dans l’équation : [L²/2 + 6L + 16] – (L²/2) = 160.
Le terme L²/2 se simplifie : 6L + 16 = 160.
On résout ensuite : 6L = 160 – 16 = 144 ⟹ L = 144/6 = 24.
La longueur de la piscine est donc de 24 m, et sa largeur vaut : Largeur = L/2 = 24/2 = 12 m.
───────────────────────────── 2 – Détermination de la profondeur à partir du volume d’eau
Le volume d’eau de la piscine est de 720 000 litres, soit 720 m³. La relation entre volume, surface et profondeur est : Volume = Surface × Profondeur.
La surface de la piscine est : Aₚ = Longueur × Largeur = 24 × 12 = 288 m².
Posons h la profondeur (en m), alors : 288 × h = 720 ⟹ h = 720/288 = 2,5.
La profondeur de la piscine est donc de 2,5 m.
───────────────────────────── Conclusion
Les dimensions de la piscine sont les suivantes : • Longueur = 24 m, • Largeur = 12 m, • Profondeur = 2,5 m.
Ces calculs s’appuient sur la condition géométrique de l’allée et sur le volume d’eau fourni.