Question :
Un terrain rectangulaire a un périmètre de 160 m. Si l’on augmente sa
largeur de 4 m et diminue sa longueur de 5 m, son aire augmente de \(100~\mathrm{m}^{2}\).
Quelles sont les dimensions de ce terrain ?
Les dimensions du terrain sont environ 57,78 mètres de longueur et 22,22 mètres de largeur.
Correction détaillée
Pour déterminer les dimensions du terrain rectangulaire, suivons les étapes suivantes.
Commençons par définir les dimensions initiales du terrain :
Le périmètre \(P\) d’un rectangle est donné par la formule : \[ P = 2 \times (L + l) \] On nous dit que le périmètre est de 160 mètres. Donc : \[ 2 \times (L + l) = 160 \] Divisons chaque côté de l’équation par 2 pour simplifier : \[ L + l = 80 \quad \text{(Équation 1)} \]
Selon l’énoncé, si la largeur est augmentée de 4 mètres et la longueur diminuée de 5 mètres, l’aire augmente de 100 \(\mathrm{m}^2\).
Calculons les nouvelles dimensions :
L’aire initiale du terrain est : \[ A_{\text{initiale}} = L \times l \] L’aire après modification est : \[ A_{\text{modifiée}} = (L - 5) \times (l + 4) \] Selon l’énoncé : \[ A_{\text{modifiée}} = A_{\text{initiale}} + 100 \] Donc : \[ (L - 5)(l + 4) = L \times l + 100 \] Développons le côté gauche de l’équation : \[ L \times l + 4L - 5l - 20 = L \times l + 100 \] Simplifions en soustrayant \(L \times l\) des deux côtés : \[ 4L - 5l - 20 = 100 \] Ajoutons 20 aux deux côtés : \[ 4L - 5l = 120 \quad \text{(Équation 2)} \]
Nous avons maintenant deux équations :
Résolvons ce système.
Étape 1 : Exprimer \(L\) en fonction de \(l\) à partir de l’Équation 1
\[ L = 80 - l \]
Étape 2 : Substituer \(L\) dans l’Équation 2
\[ 4(80 - l) - 5l = 120 \] Développons : \[ 320 - 4l - 5l = 120 \] Combine les termes en \(l\) : \[ 320 - 9l = 120 \] Soustrayons 320 des deux côtés : \[ -9l = 120 - 320 \] \[ -9l = -200 \] Divisons par -9 : \[ l = \frac{-200}{-9} = \frac{200}{9} \approx 22,22 \text{ mètres} \]
Étape 3 : Trouver \(L\) en utilisant \(l\)
\[ L = 80 - l = 80 - \frac{200}{9} = \frac{720}{9} - \frac{200}{9} = \frac{520}{9} \approx 57,78 \text{ mètres} \]
Calculons l’aire initiale et l’aire modifiée pour vérifier.
Aire initiale : \[ A_{\text{initiale}} = L \times l = \frac{520}{9} \times \frac{200}{9} = \frac{104000}{81} \approx 1282,72 \ \mathrm{m}^2 \]
Nouvelles dimensions : \[ L - 5 = \frac{520}{9} - 5 = \frac{520 - 45}{9} = \frac{475}{9} \] \[ l + 4 = \frac{200}{9} + 4 = \frac{200 + 36}{9} = \frac{236}{9} \]
Aire modifiée : \[ A_{\text{modifiée}} = \frac{475}{9} \times \frac{236}{9} = \frac{112100}{81} \approx 1384,20 \ \mathrm{m}^2 \] Augmentation de l’aire : \[ 1384,20 - 1282,72 = 101,48 \ \mathrm{m}^2 \] Ceci est très proche des 100 \(\mathrm{m}^2\) indiqués, confirmant la validité des dimensions.
Les dimensions du terrain sont donc :