Question : \(EFGH\) est un rectangle tel que \(EF = 8\,\text{cm}\) et \(EH = 6\,\text{cm}\). Un point \(N\) se déplace sur les côtés \([EF]\) et \([FG]\) du rectangle. On note \(y\) la distance parcourue du point \(E\) au point \(N\) en suivant le sens du périmètre EFGH.
On appelle \(g(y)\) l’aire du quadrilatère \(ENGH\).
a. Représentation du rectangle \(EFGH\) avec \(N\) sur \([EF]\) ou \([FG]\).
b. Encadrement de \(y\) : - Si \(N \in [EF]\) : \(0 \leq y \leq 8\,\text{cm}\) - Si \(N \in [FG]\) : \(8\,\text{cm} \leq y \leq 14\,\text{cm}\)
c. Aire \(g(y)\) : \[ g(y) = \begin{cases} 6y & \text{si } 0 \leq y \leq 8\,\text{cm} \\ 80 - 4y & \text{si } 8\,\text{cm} \leq y \leq 14\,\text{cm} \end{cases} \]
d. Calculs : \[ g(3) = 18\,\text{cm}²,\quad g(8) = 48\,\text{cm}²,\quad g(12) = 32\,\text{cm}² \]
Question :
\(EFGH\) est un rectangle tel que \(EF = 8\,\text{cm}\) et \(EH = 6\,\text{cm}\). Un point \(N\) se déplace sur les côtés \([EF]\) et \([FG]\) du rectangle. On note \(y\) la distance parcourue du point \(E\) au point \(N\) en suivant le sens du périmètre EFGH.
On appelle \(g(y)\) l’aire du quadrilatère \(ENGH\).
Correction :
Pour bien comprendre la situation, dessinons le rectangle \(EFGH\) avec les dimensions données :
Le schéma ressemblera à ceci :
E ——– F | | H ——– G
Le point \(N\) peut être situé soit sur \([EF]\), soit sur \([FG]\), selon la valeur de \(y\).
Correction :
Pour déterminer les valeurs possibles de \(y\), considérons le parcours de \(N\) le long du périmètre à partir de \(E\).
Le périmètre du rectangle est donné par : \[ \text{Périmètre} = 2 \times (EF + EH) = 2 \times (8\,\text{cm} + 6\,\text{cm}) = 28\,\text{cm} \]
Lorsque \(N\) est situé sur le côté \([EF]\), la distance \(y\) parcourue depuis \(E\) jusqu’à \(N\) varie de \(0\) à la longueur de \(EF\).
\[ 0 \leq y \leq 8\,\text{cm} \]
Lorsque \(N\) est situé sur le côté \([FG]\), la distance \(y\) parcourue inclut tout le côté \(EF\) plus une partie du côté \(FG\). Ainsi, \(y\) commence à \(8\,\text{cm}\) (lorsque \(N\) est exactement en \(F\)) et augmente jusqu’à \(8\,\text{cm} + 6\,\text{cm} = 14\,\text{cm}\).
\[ 8\,\text{cm} \leq y \leq 14\,\text{cm} \]
Encadrement de \(y\) :
Correction :
L’aire \(g(y)\) du quadrilatère \(ENGH\) dépend de la position de \(N\). Nous allons traiter chaque cas séparément.
Lorsque \(N\) est sur \([EF]\), le quadrilatère \(ENGH\) est formé par les points \(E\), \(N\), \(G\), et \(H\). Pour calculer son aire, nous pouvons le diviser en deux figures géométriques simples : un rectangle et un triangle.
Ainsi, l’aire totale est simplement celle du rectangle.
\[ g(y) = y \times 6 = 6y \quad \text{(avec } 0 \leq y \leq 8\,\text{cm} \text{)} \]
Lorsque \(N\) est sur \([FG]\), la distance \(y\) est comprise entre \(8\,\text{cm}\) et \(14\,\text{cm}\). Le quadrilatère \(ENGH\) peut être vu comme la totalité du rectangle moins le triangle formé par \(F\), \(N\) et \(G\).
Ainsi, l’aire du quadrilatère \(ENGH\) est :
\[ g(y) = 48 - \frac{1}{2} \times (y - 8) \times 8 = 48 - 4(y - 8) \]
Développons :
\[ g(y) = 48 - 4y + 32 = 80 - 4y \quad \text{(avec } 8\,\text{cm} \leq y \leq 14\,\text{cm} \text{)} \]
Résumé :
\[ g(y) = \begin{cases} 6y & \text{si } 0 \leq y \leq 8\,\text{cm} \\ 80 - 4y & \text{si } 8\,\text{cm} \leq y \leq 14\,\text{cm} \end{cases} \]
Correction :
Utilisons les formules obtenues précédemment pour calculer \(g(y)\) aux valeurs données.
Puisque \(3\,\text{cm}\) est dans l’intervalle \(0 \leq y \leq 8\,\text{cm}\), nous utilisons la première formule :
\[ g(3) = 6 \times 3 = 18\,\text{cm}^2 \]
\(8\,\text{cm}\) est à la limite entre les deux cases. Nous pouvons utiliser l’une ou l’autre formule, elles doivent donner le même résultat.
\[ g(8) = 6 \times 8 = 48\,\text{cm}^2 \]
\[ g(8) = 80 - 4 \times 8 = 80 - 32 = 48\,\text{cm}^2 \]
Les deux méthodes donnent le même résultat.
\(12\,\text{cm}\) est dans l’intervalle \(8\,\text{cm} \leq y \leq 14\,\text{cm}\), nous utilisons donc la deuxième formule :
\[ g(12) = 80 - 4 \times 12 = 80 - 48 = 32\,\text{cm}^2 \]
Résumé des résultats :
\[ \begin{align*} g(3) &= 18\,\text{cm}^2 \\ g(8) &= 48\,\text{cm}^2 \\ g(12) &= 32\,\text{cm}^2 \end{align*} \]