Un angle au centre \(\alpha\) intercepte un secteur d’une aire de \(40,5\,\mathrm{cm}^2\) et un arc de 18 cm de longueur. Quel est le rayon du disque ? (Prendre pour \(\pi\) la valeur approximative 3.)
Le rayon du disque est de 4,5 cm.
On désigne par r le rayon du disque et par α l’angle en radians du secteur.
Pour un secteur circulaire, la longueur de l’arc se calcule par la formule : s = r × α. Ici, on connaît la longueur de l’arc : s = 18 cm. On peut donc écrire : r × α = 18 (1).
L’aire d’un secteur circulaire est donnée par : A = (1/2) × r² × α. On sait que A = 40,5 cm², d’où : (1/2) × r² × α = 40,5 (2).
Pour éliminer α, on résout (1) en fonction de α : α = 18 / r. On remplace ensuite dans (2) : (1/2) × r² × (18 / r) = 40,5.
Simplifions l’équation : (1/2) × 18 × (r² / r) = (1/2) × 18 × r = 9r. On a donc : 9r = 40,5.
Pour trouver r, on divise par 9 : r = 40,5 / 9 = 4,5 cm.
Conclusion : Le rayon du disque est de 4,5 cm.