Un paysan vend deux terrains carrés non contigus au prix de 80 fr/m² chacun. L’un des terrains a une superficie supérieure de \(75 \ \mathrm{m}^{2}\) à celle de l’autre. La somme des périmètres des deux terrains est de 100 m. Quel est le prix de chaque terrain ?
Le premier terrain coûte 15 680 fr et le deuxième terrain coûte 9 680 fr.
Pour résoudre ce problème, suivons les étapes suivantes :
Un paysan vend deux terrains carrés non contigus au prix de 80 fr/m² chacun. L’un des terrains a une superficie supérieure de 75 m² à celle de l’autre. La somme des périmètres des deux terrains est de 100 m. Quel est le prix de chaque terrain ?
Selon l’énoncé, le premier terrain a une superficie supérieure de 75 m² à celle du deuxième : \[ x^2 = y^2 + 75 \]
Selon l’énoncé, la somme des périmètres est de 100 m : \[ 4x + 4y = 100 \] Simplifions cette équation en divisant par 4 : \[ x + y = 25 \]
Nous avons maintenant deux équations : \[ \begin{cases} x^2 = y^2 + 75 \\ x + y = 25 \end{cases} \]
Utilisons la première équation : \[ x^2 - y^2 = 75 \] Cette différence de carrés peut être factorisée : \[ (x - y)(x + y) = 75 \] Nous savons que \(x + y = 25\), donc : \[ (x - y)(25) = 75 \] En divisant par 25 : \[ x - y = 3 \]
Maintenant, nous avons : \[ \begin{cases} x + y = 25 \\ x - y = 3 \end{cases} \] En additionnant les deux équations : \[ 2x = 28 \quad \Rightarrow \quad x = 14 \] Ensuite, substituons \(x\) dans \(x + y = 25\) : \[ 14 + y = 25 \quad \Rightarrow \quad y = 11 \]
Le prix au mètre carré est de 80 fr/m². - Prix du premier terrain : \[ 196 \ \mathrm{m}^2 \times 80 \ \frac{\mathrm{fr}}{\mathrm{m}^2} = 15\,680 \ \mathrm{fr} \] - Prix du deuxième terrain : \[ 121 \ \mathrm{m}^2 \times 80 \ \frac{\mathrm{fr}}{\mathrm{m}^2} = 9\,680 \ \mathrm{fr} \]
Le prix de chaque terrain est donc : - Premier terrain : 15 680 fr - Deuxième terrain : 9 680 fr