Exercice 58

Le périmètre d’un rectangle est de 72 m. Si l’on augmente sa largeur de 2 m et diminue sa longueur de 2 m, l’aire augmente de \(20\, \mathrm{m}^{2}\). Quelles sont les dimensions de ce rectangle ?

Réponse

Le rectangle initial mesure 24 m de long et 12 m de large.

Corrigé détaillé

Soit L la longueur et l la largeur du rectangle.

1. À partir de l’énoncé, le périmètre du rectangle est de 72 m. La formule du périmètre est donnée par :
     2(L + l) = 72
     On divise par 2 pour obtenir l’équation suivante :
     L + l = 36  (équation 1)

2. L’aire initiale du rectangle est A = L × l.

3. Ensuite, on augmente la largeur de 2 m et on diminue la longueur de 2 m. Les nouvelles dimensions sont :
     largeur = l + 2
     longueur = L – 2
   La nouvelle aire devient donc :
     A’ = (l + 2)(L – 2)

4. D’après l’énoncé, cette modification fait augmenter l’aire de 20 m² :
     A’ = A + 20
     En remplaçant A et A’ par leurs expressions, on a :
     (l + 2)(L – 2) = L × l + 20

5. Développons le côté gauche de l’égalité :
     (l + 2)(L – 2) = L × l – 2l + 2L – 4

6. Remplaçons dans l’équation :
     L × l – 2l + 2L – 4 = L × l + 20
     Pour simplifier, soustrayons L × l des deux côtés :
     – 2l + 2L – 4 = 20
     Ajoutons 4 aux deux côtés de l’égalité :
     2L – 2l = 24
     Divisons ensuite par 2 :
     L – l = 12  (équation 2)

7. Nous avons maintenant le système suivant :
     L + l = 36  (équation 1)
     L – l = 12  (équation 2)

8. Pour trouver L et l, nous pouvons additionner ces deux équations :
     (L + l) + (L – l) = 36 + 12
     2L = 48
     On trouve :
     L = 48 / 2 = 24

9. En substituant L = 24 dans l’équation 1, on obtient :
     24 + l = 36
     l = 36 – 24 = 12

Conclusion : Les dimensions du rectangle sont une longueur de 24 m et une largeur de 12 m.

Ainsi, le rectangle initial mesure 24 m de long et 12 m de large.