Exercice 55

Un rectangle a un périmètre de 16 cm. On désigne une de ses dimensions par \(x\).

• Exprimer l’aire de ce rectangle en fonction de \(x\).
• Représenter graphiquement cette aire en fonction de \(x\).

Réponse

L’aire du rectangle s’exprime par A(x) = 8x − x², avec 0 < x < 8. Le maximum, 16 cm², est atteint pour x = 4.

Corrigé détaillé

Nous savons que le rectangle a un périmètre de 16 cm. Soit x l’une des dimensions du rectangle et y l’autre dimension. Nous allons procéder étape par étape.

───────────────────────────── 1. Calcul de la deuxième dimension

Le périmètre d’un rectangle est donné par la formule :
  P = 2(x + y)

Ici, P = 16, donc :
  2(x + y) = 16
Pour trouver la somme des dimensions, on divise par 2 :
  x + y = 8
D’où, en isolant y :
  y = 8 − x

───────────────────────────── 2. Expression de l’aire en fonction de x

L’aire A d’un rectangle se calcule avec la formule :
  A = x × y
En remplaçant y par son expression, on obtient :
  A(x) = x × (8 − x)
Cela se simplifie en :
  A(x) = 8x − x²

───────────────────────────── 3. Représentation graphique de l’aire en fonction de x

Pour représenter graphiquement la fonction A(x) = 8x − x², observons les points et caractéristiques importants :

1. Domaine de définition
   Comme x représente une longueur, il doit être positif. De plus, pour que y = 8 − x soit également positif, on doit avoir :
     8 − x > 0 ⟹ x < 8
   Donc, le domaine de validité est : 0 < x < 8
   (On peut aussi tracer de 0 à 8 sur l’axe des abscisses.)

2. Forme de la courbe
   L’équation A(x) = 8x − x² est une fonction polynomiale du second degré. La forme générale d’une parabole est :
     A(x) = −x² + 8x
   Ici, le coefficient de x² est négatif (−1), ce qui signifie que la parabole est orientée vers le bas et possède donc un maximum.

3. Points remarquables
    • Points d’intersection avec l’axe des abscisses (A(x) = 0) :
     On résout 8x − x² = 0
      => x(8 − x) = 0
     D’où, x = 0 ou x = 8
    • Coordonnées du sommet
     La formule pour la coordonnée en x du sommet d’une parabole donnée par A(x) = ax² + bx + c est :
      xₛ = −b/(2a)
     Dans notre cas, a = −1 et b = 8, donc :
      xₛ = −8/(2 × (−1)) = 4
     Pour trouver l’ordonnée du sommet, on remplace x par 4 :
      A(4) = 8 × 4 − 4² = 32 − 16 = 16
     Le sommet est donc : (4, 16)

4. Dessin de la courbe
   Pour représenter cette fonction sur un graphique :   • Tracez un repère avec l’axe horizontal représentant x (en cm) allant de 0 à 8 et l’axe vertical représentant A(x) (en cm²).   • Placez les points importants :    – (0, 0)    – (8, 0)    – (4, 16) qui est le point culminant de la parabole.   • Dessinez la courbe en reliant ces points par une parabole qui monte jusqu’au sommet (4, 16) puis redescend pour atteindre (8, 0).

───────────────────────────── Conclusion

L’aire du rectangle en fonction de la dimension x est donnée par :
  A(x) = 8x − x²

La représentation graphique de cette fonction est une parabole orientée vers le bas avec les points remarquables suivants :
  – Intersections avec l’axe des abscisses en x = 0 et x = 8
  – Un sommet en (4, 16)
Ainsi, pour x variant de 0 à 8, la courbe monte jusqu’à atteindre son maximum à x = 4 puis redescend.