Question : On connaît les coordonnées des deux sommets du triangle \(DEF\) : \(D(3, 2)\) et \(E(7, -1)\).
Déterminez l’ordonnée du troisième sommet \(F(7, y)\) telle que :
L’aire du triangle \(DEF\) soit égale à 30.
L’aire du triangle \(DEF\) soit égale à 45.
Le périmètre du triangle \(DEF\) soit égal à 30.
Résumé des solutions :
Correction de l’exercice : Coordonnées du sommet \(F(7, y)\) du triangle \(DEF\)
Nous connaissons les coordonnées des sommets \(D(3, 2)\) et \(E(7, -1)\). Nous devons déterminer l’ordonnée \(y\) du troisième sommet \(F(7, y)\) en fonction des différentes conditions données.
Étape 1 : Formule de l’aire d’un triangle à partir des coordonnées de ses sommets
L’aire \(A\) d’un triangle dont les sommets ont pour coordonnées \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) et \((x_3, y_3)\) est donnée par :
\[ A = \frac{1}{2} \left| (x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)) \right| \]
Étape 2 : Appliquer la formule avec les coordonnées données
Pour le triangle \(DEF\) : - \(D(3, 2) \Rightarrow (x_1, y_1) = (3, 2)\) - \(E(7, -1) \Rightarrow (x_2, y_2) = (7, -1)\) - \(F(7, y) \Rightarrow (x_3, y_3) = (7, y)\)
Substituons ces valeurs dans la formule de l’aire :
\[ A = \frac{1}{2} \left| 3(-1 - y) + 7(y - 2) + 7(2 - (-1)) \right| \]
Étape 3 : Simplifier l’expression
Calculons chaque terme :
En les additionnant :
\[ -3 - 3y + 7y - 14 + 21 = ( -3 -14 +21 ) + (-3y +7y) = 4 + 4y \]
Donc,
\[ A = \frac{1}{2} \left| 4 + 4y \right| = \frac{1}{2} \times |4(1 + y)| = 2 |1 + y| \]
Étape 4 : Égaliser l’aire à 30 et résoudre pour \(y\)
Nous avons :
\[ 2 |1 + y| = 30 \]
Divisons par 2 :
\[ |1 + y| = 15 \]
Cela donne deux possibilités :
Conclusion :
Les valeurs possibles pour \(y\) sont \(14\) et \(-16\).
Étape 1 : Utiliser l’expression de l’aire trouvée précédemment
Nous avons déjà établi que :
\[ A = 2 |1 + y| \]
Étape 2 : Égaliser l’aire à 45 et résoudre pour \(y\)
Posons :
\[ 2 |1 + y| = 45 \]
Divisons par 2 :
\[ |1 + y| = 22.5 \]
Cela donne deux possibilités :
Conclusion :
Les valeurs possibles pour \(y\) sont \(21.5\) et \(-23.5\).
Étape 1 : Calculer les longueurs des côtés du triangle
Le périmètre \(P\) d’un triangle est la somme des longueurs de ses côtés.
Calculons les longueurs des côtés \(DE\), \(EF\) et \(FD\).
\[ DE = \sqrt{(x_E - x_D)^2 + (y_E - y_D)^2} = \sqrt{(7 - 3)^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]
\[ EF = \sqrt{(x_F - x_E)^2 + (y_F - y_E)^2} = \sqrt{(7 - 7)^2 + (y - (-1))^2} = \sqrt{0 + (y + 1)^2} = |y + 1| \]
\[ FD = \sqrt{(x_F - x_D)^2 + (y_F - y_D)^2} = \sqrt{(7 - 3)^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{16 + (y - 2)^2} \]
Étape 2 : Écrire l’équation du périmètre
Le périmètre est la somme des longueurs des côtés :
\[ P = DE + EF + FD = 5 + |y + 1| + \sqrt{16 + (y - 2)^2} \]
Nous savons que \(P = 30\), donc :
\[ 5 + |y + 1| + \sqrt{16 + (y - 2)^2} = 30 \]
Étape 3 : Isoler les termes contenant \(y\)
Soustrayons 5 des deux côtés :
\[ |y + 1| + \sqrt{16 + (y - 2)^2} = 25 \]
Étape 4 : Résoudre l’équation
Cette équation est complexe car elle combine une valeur absolue et une racine carrée. Pour la résoudre, nous allons envisager deux cas en fonction de la valeur de \(y\).
Cas 1 : \(y + 1 \geq 0\)
Dans ce cas, \(|y + 1| = y + 1\).
L’équation devient :
\[ y + 1 + \sqrt{16 + (y - 2)^2} = 25 \]
Isolons la racine carrée :
\[ \sqrt{16 + (y - 2)^2} = 25 - y - 1 = 24 - y \]
Élevons au carré des deux côtés :
\[ 16 + (y - 2)^2 = (24 - y)^2 \]
Développons les deux côtés :
\[ 16 + y^2 - 4y + 4 = 576 - 48y + y^2 \]
Simplifions :
\[ 20 + y^2 - 4y = 576 - 48y + y^2 \]
Annulons \(y^2\) des deux côtés :
\[ 20 - 4y = 576 - 48y \]
Réarrangeons les termes :
\[ 48y - 4y = 576 - 20 \\ 44y = 556 \\ y = \frac{556}{44} = 12.636... \]
Arrondi, \(y \approx 12.64\).
Vérification du cas 1 :
Vérifions que \(y + 1 \geq 0\) :
\[ 12.64 + 1 = 13.64 \geq 0 \quad \text{(Vrai)} \]
Cas 2 : \(y + 1 < 0\)
Dans ce cas, \(|y + 1| = -(y + 1) = -y -1\).
L’équation devient :
\[ -y -1 + \sqrt{16 + (y - 2)^2} = 25 \]
Isolons la racine carrée :
\[ \sqrt{16 + (y - 2)^2} = 25 + y +1 = 26 + y \]
Élevons au carré des deux côtés :
\[ 16 + (y - 2)^2 = (26 + y)^2 \]
Développons les deux côtés :
\[ 16 + y^2 - 4y + 4 = 676 + 52y + y^2 \]
Simplifions :
\[ 20 + y^2 - 4y = 676 + 52y + y^2 \]
Annulons \(y^2\) des deux côtés :
\[ 20 - 4y = 676 + 52y \]
Réarrangeons les termes :
\[ -4y - 52y = 676 - 20 \\ -56y = 656 \\ y = \frac{656}{-56} \approx -11.71 \]
Vérification du cas 2 :
Vérifions que \(y + 1 < 0\) :
\[ -11.71 + 1 = -10.71 < 0 \quad \text{(Vrai)} \]
Conclusion :
Les valeurs possibles pour \(y\) sont \(12.64\) et \(-11.71\).
Résumé des solutions :